Isomorfismo musical

En matemáticas, el isomorfismo musical es un isomorfismo entre el fibrado tangente $TM$ y el fibrado cotangente $T^{*}M$ de una variedad riemanniana, que viene inducido por su métrica.

Introducción

Una métrica g en una variedad Riemanniana M es un campo tensorial $g\in {\mathcal {T}}_{2}(M)$ que es simétrico, no degenerado y definido positivo. Al fijar uno de los dos parámetros como un vector $v_{p}\in T_{p}M$ , se obtiene un isomorfismo de espacios vectoriales:

{\hat {g}}_{p}:T_{p}M\longrightarrow T_{p}^{*}M

definido por:

{\hat {g}}_{p}(v_{p})=g(v_{p},-)

es decir,

\langle {\hat {g}}_{p}(v_{p}),\omega _{p}\rangle =g_{p}(v_{p},\omega _{p})

Globalmente,

{\hat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M

es un difeomorfismo.

Motivación para el nombre

El isomorfismo ${\hat {g}}$ y su inversa ${\hat {g}}^{-1}$ se denominan isomorfismos musicales porque suben y bajan los índices de los vectores. Por ejemplo, un vector de TM se escribe como $\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ y un covector como $\alpha _{i}dx^{i}$ , así que el índice i sube y baja en $\alpha$ del mismo modo que los símbolos sostenido ( $\sharp$ ) y bemol ( $\flat$ ) suben y bajan un semitono.