Sean y dos funciones en todo el plano complejo o en el disco unitario, donde es meromorfa y es analítica, de modo que dondequiera que tenga un polo de orden , tenga un cero de orden (o equivalentemente, tal que el producto es holomorfo), y sean constantes. Entonces, la superficie con coordenadas es mínima, donde las se definen usando la parte real de una integral compleja, de la siguiente manera:
Lo contrario también es cierto: a cada superficie mínima no plana definida sobre un dominio simplemente conexo se le puede dar una parametrización de este tipo.[1]
Superficie paramétrica de variables complejas[editar]
Las líneas de curvatura forman una cuadrangulación del dominio
El modelo de Weierstrass-Enneper define una superficie mínima () en un plano complejo (). Sea (el plano complejo como el espacio ), la matriz jacobiana de la superficie se puede escribir como una columna de entradas complejas:
donde y son funciones holomorfas de .
El jacobiano representa los dos vectores tangentes ortogonales de la superficie:[2]
La superficie normal está dada por
El jacobiano conduce a una serie de propiedades importantes: , , , . Las demostraciones se pueden encontrar en el ensayo de Sharma: la representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima.[3] Las derivadas se pueden utilizar para construir la matriz de la primera forma fundamental:
Eligiendo las funciones y se obtiene una familia de superficies mínimas de un parámetro
Eligiendo los parámetros de la superficie como :
En los extremos, la superficie es una catenoide o un helicoide . De lo contrario, representa un ángulo de la mezcla. La superficie resultante, con un dominio elegido para evitar la autointersección, es una catenaria que gira alrededor del eje de forma helicoidal.
Se puede reescribir cada elemento de la segunda matriz fundamental en función de y , por ejemplo
Y en consecuencia, la segunda matriz de forma fundamental se puede simplificar como
Uno de sus vectores propios es , que representa la dirección principal en el dominio complejo.[6] Por lo tanto, las dos direcciones principales en el espacio resultan ser
↑Dierkes, U.; Hildebrandt, S.; Küster, A.; Wohlrab, O. (1992). Minimal surfacesI. Springer. p. 108. ISBN3-540-53169-6.
↑Andersson, S.; Hyde, S. T.; Larsson, K.; Lidin, S. (1988). «Minimal Surfaces and Structures: From Inorganic and Metal Crystals to Cell Membranes and Biopolymers». Chem. Rev.88 (1): 221-242. doi:10.1021/cr00083a011.
↑Sharma, R. (2012). «The Weierstrass Representation always gives a minimal surface». arXiv:1208.5689 [math.DG].
↑Lawden, D. F. (2011). Elliptic Functions and Applications. Applied Mathematical Sciences 80. Berlin: Springer. ISBN978-1-4419-3090-3.
↑Abbena, E.; Salamon, S.; Gray, A. (2006). «Minimal Surfaces via Complex Variables». Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. Boca Raton: CRC Press. pp. 719-766. ISBN1-58488-448-7.