Ventana (función)

Las ventanas son funciones matemáticas usadas con frecuencia en el análisis y el procesamiento de señales para evitar las discontinuidades al principio y al final de los bloques analizados.

En procesamiento de señales, una ventana se utiliza cuando nos interesa una señal de longitud voluntariamente limitada. En efecto, una señal real tiene que ser de tiempo finito; además, un cálculo sólo es posible a partir de un número finito de puntos. Para observar una señal en un tiempo finito, la multiplicamos por una función ventana.

La más simple es la ventana rectangular, que se define como:

$h(t)={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}t\in [0,T]\\0&{\mbox{ resto.}}\end{cases}}$

Así, cuando multiplicamos una señal $s(t)$ por esta ventana, obtendremos únicamente los $T$ primeros segundos de la señal: observamos la señal en un intervalo $T$ . En vez de estudiar la señal $s(t)$ , se estudia la señal truncada: $s_{h}(t)=s(t)\cdot h(t)$ . Si pasamos al dominio de la frecuencia, mediante una transformada de Fourier, obtenemos el producto de convolución $S_{h}(f)=S(f)\ast H(f)$ , donde $H(f)$ es la TF de la ventana.

La utilización de una ventana cambia el espectro en frecuencia de la señal. Existen distintos tipos de ventana que permiten obtener distintos resultados en el dominio de las frecuencias.

Ventanas típicas

Algunas ventanas en su forma discreta de tamaño $N\,$ , donde $0\leq \;n\leq \;N-1\,$

Rectangular

$v(n)=1\,$

Hann

$v(n)=a_{0}-a_{1}\;\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=0,5;\quad a_{1}=0,5\quad \,$

Frecuentemente la ventana de Hann aparece nombrada como ventana de Hanning en analogía a la ventana de Hamming. Esto es incorrecto, ya que los nombres de las ventanas se deben a Julius von Hann y Richard Hamming respectivamente. Otro nombre común para esta ventana es "coseno elevado".

Hamming

$v(n)=a_{0}-a_{1}\;\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=0,53836;\quad a_{1}=0,46164\quad \,$

Blackman

$v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=0,42;\quad a_{1}=0,5;\quad a_{2}=0,08\,$

Blackman-Harris

$v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=0,35875;\quad a_{1}=0,48829;\quad a_{2}=0,14128;\quad a_{3}=0,01168\,$

Blackman-Nuttall

$v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=0,3635819;\quad a_{1}=0,4891775;\quad a_{2}=0,1365995;\quad a_{3}=0,0106411\,$

Flat top

$v(n)=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N-1}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N-1}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=1;\quad a_{1}=1,93;\quad a_{2}=1,29;\quad a_{3}=0,388;\quad a_{4}=0,032\,$

Gauss

$v(n)=e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-(N-1)/2}{\sigma (N-1)/2}}\right)^{2}}$

$\sigma \leq \;0,5\,$

Triangular

$v(n)={\frac {N}{2}}-\left|n-{\frac {N-1}{2}}\right|\,$

Bartlett

$v(n)={\frac {N-1}{2}}-\left|n-{\frac {N-1}{2}}\right|\,$

Bartlett-Hann

$v(n)=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N-1}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right)$

$a_{0}=0,62;\quad a_{1}=0,48;\quad a_{2}=0,38\,$

Kaiser

w_{k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}(\pi \alpha {\sqrt {1-(2k/n-1)^{2}}})}{I_{0}(\pi \alpha )}}&{\mbox{si }}0\leq k\leq n\\\\0&{\mbox{resto}}\\\end{matrix}}\right.

donde I₀ es la función de Bessel modificada de primer tipo de orden cero, α es un número real arbitrario que determina la forma de la ventana y n es un número natural que determina el tamaño de la ventana.

Véase también