Usuario:Orendona/Taller1

En matemáticas, la transformada de Fourier de tiempo discreto, del inglés discrete-time Fourier transform (DTFT) es una forma de análisis de Fourier que es aplicable a una secuencia de valores.

La DTFT se usa frecuentemente para analizar un muestreo discreto de una función continua. El término tiempo discreto se refiere al hecho de que se trabaja sobre segmentos discretos de una función, comúnmente se trata de segmentos de intervalos de tiempo. De segmentos de función de intervalos fijos de tiempo se produce una función con dominio en la frecuencia que es la sumatoria periódica de la transformada de Fourier continua. Bajo ciertas condiciones teoréticas, descritas en el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la función continua original puede ser reconcstruida perfectamente desde la DTFT y por lo tanto desde las muestras discretas originales. La DTFT en sí misma es una función continua con dominio en la frecuencia, pero las muestras discretas de la misma pueden ser calculadas con la transformada de Fourier discreta (DFT), que es, por mucho, el más usual de lo métodos en el anális de Fourier moderno.

Ambas transformadas son invertibles. La inversa de la DTFT es la función muestreada original. La inversa de la DFT es la suma periódica de la función original. La Transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular un ciclo de la DFT, y su inversa es un ciclo de la inversa de la DFT.

Definición[editar]

La transformada de Fourier en tiempo discreto de secuencias de números reales o complejos $x [n]$ , para $n$ miembro de los Enteros, es una serie de Fourier que produce una función periódica de frecuencia variable. Cuando la frecuencia variable, ω, está normalizada a radianes/muestra, la periodicidad es $2π$ , y la serie de Fourier es:^[1]^: p.147

$X_{2\pi }(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$

(Eq.1)

La utilidad de esta función en el dominio de la frecuencia está basada en la en:Poisson summation formula. Sea $X (f)$ la transformada de Fourier de cualquier función, $x (t)$ , cuyas muestras en algún intervalo $T$ (segundos) son iguales (o proporcionales) a la secuencia $x [n]$ , ej. $T \cdot x (nT) = x [n]$ .^[2] Entonces la función periódica representada por las series de Fourier es una sumatoria periódica de $X (f)$ en términos de su frecuencia $f$ en hertz (ciclos/segundo):Oppenheim y Schafer,^[1] p 147 (4.20), p 694 (10.1), y Prandoni y Vetterli,^[3] p 255, (9.33), donde: $T\cdot X(e^{i\omega })\triangleq X_{2\pi }(\omega ),$ $\omega \triangleq 2\pi fT,$ y $X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).$

Cuando la dependencia en $T$ es importante, es práctica común reemplazarla con $1.$ Entonces $f$ tiene las unidades de (ciclos/muestra), llamadas normalized frequency.

$X_{1/T}(f)=X_{2\pi }(2\pi fT)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\ e^{-i2\pi fTn}\;{\stackrel {\mathrm {Poisson\;f.} }{=}}\;\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right).$

(Eq.2)

El entero $k$ tiene las unidades de ciclos/muestra, y $1/ T$ es la rapidez del muestreo, $f s$ (muestras/segundo). Así $X 1/ T (f)$ contiene copias exactas de $X (f)$ que están desplazadas por múltiplos de $f s$ hertz y combinadas por suma. Para un $f s$ lo suficientemente grande el término $k = 0$ puede ser observado en la región $[- f s /2, f s /2]$ con poca o ninguna distorsión por( solapamiento sincrónico) con otros términos. En Fig.1, los extremos de la distribución en la esquina superior izquierda están enmascaradas por solapamiento sincrónico en la sumatoria periódica (abajo a la izquierda).

También nótese que $e - i2πfTn$ es la transformada de Fourier de $δ (t - nT)$ . Por lo tanto, una definición alternativa al DTFT es: De hecho la Eq.2 seguido se justifica como sigue:^[1]^: p.143

{\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot x(nT)\cdot \delta (t-nT)\right\}&={\mathcal {F}}\left\{x(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right\}\\&=X(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right).\end{aligned}}

$X_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}.$

(Eq.3)

La función modulada (un peine de Dirac) es una abstracción matemática algunas veces referida como tren de impulsos o función de muestreo.^[4]

Transformada Inversa[editar]

Una operación que reconstruye la secuencia de datos discreta desde la función DTFT se llama una DTFT inverso. Por ejemplo, la transformada de Fourier inversa contínua de ambos lados de {EquationNote|Eq.3}} produce una secuencia con la forma de función de peine de Dirac modulado:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.

Sin embargo, notando que $X 1/ T (f)$ es periódica, toda la información necesaria está contenida dentro de cualquier intervalo de longitud $1/ T$ . En Eq.1 y Eq.2, las sumatorias sobre n son series de Fourier, con coeficientes $x [n]$ . Las fórmulas estándar para los coeficientes de Fourier son también las transformadas inversas:

${\begin{aligned}x[n]&=T\int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\quad \scriptstyle {{\text{(integral sobre cualquier intervalo de longitud }}1/T{\textrm {)}}}\\\displaystyle &={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega \quad \scriptstyle {{\text{(integral sobre cualquier intervalo de longitud }}2\pi {\textrm {)}}}\end{aligned}}$

(Eq.4)

Funciones Periódicas[editar]

Cuando la secuencia de entrada $x [n]$ es $N$ -periodica, Eq.2 puede ser computacionalmente reducida a una transformada de Fourier discreta (DFT), porque:

Toda la información puede ser contenida dentro $N$ muestras.
$X 1/ T (f)$ converge a cero en todas partes excepto en los múltiplos enteros $1/(NT)$ , conocidos como frecuencias armónicas (armónicos). A esas frecuencias, la DTFT diverge a diferentes velocidades dependientes de la frecuencia. Y esas frecuencias están dadas por la DFT de un ciclo de la secuencia $x [n]$ .
La DTFT es periódic, por lo que el máximo número de amplitudes armónicas es $(1/ T) / (1/(NT)) = N$

Los coeficientes de la DFT están dados por:

X[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}x(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{cualquier n-secuencia de longitud N}},

y la DTFT es:

X_{1/T}(f)={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right).

Oppenheim y Schafer,^[1] p 551 (8.35), y Prandoni y Vetterli,^[3] p 82, (4.43), donde:

T\cdot {\tilde {X}}(e^{i\omega })\triangleq X_{2\pi }(\omega ),

\omega \triangleq 2\pi fT,

{\tilde {X}}[k]\triangleq X[k],

y

\delta \left(2\pi fT-{\tfrac {2\pi k}{N}}\right)\equiv \delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)/(2\pi T).

Substituyendo esta expresión en la fórmula de la transformada inversa confirma:

\int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\ =\ {\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k}} _{\text{cualquier k-secuencia de longitud N}}\ \equiv \ x(nT),\quad n\in \mathbb {Z} \,

(all integers)

como se esperaba. La inversa de la DFT en la línea de arriba a veces es referida como en:Discrete Fourier series (DFS).^[1]^{: p 542}

Muestreando la DTFT[editar]

Cuando la DTFT es continua, una práctica común es calcular un número arbitrario de muestras ( $N$ ) de un ciclo de la función periódica $X 1/ T$ : ^[1]pp 557–559 & 703

{\begin{aligned}\underbrace {X_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{X_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sumatoria sobre cualquier }}n{\text{-secuencia de longitud }}N)}\end{aligned}}

donde $x_{_{N}}$ es una en:periodic summation:

x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].

(ver en:Discrete Fourier series)

La secuencia $x_{_{N}}$ es la inversa de la DFT. Por lo que nuestro muestreo de la DTFT causa que la transformada inversa se vuelva periódica. El arreglo de valores $|X_{k}|^{2}$ conocidos como en:periodogram, y el parámetro $N$ es llamado NFFT en la función de Matlab del mismo nombre.^[5]

A fin de evaluar un ciclo de $x_{_{N}}$ numéricamente, se requiere la secuencia de longitud finita $x [n]$ . Por ejemplo, una secuencia larga puede ser truncada por una función ventana de longitud $L$ resultando los 3 casos siguientes, (para simplificar la notación, consideraremos que los valores $x [n]$ abajo representan los valores modificados por la función de ventana):

Caso 1: Agotamiento de la frecuencia. $L = N \cdot I$ , para algún entero $I$ (tipicamente 6 u 8)

Un ciclo de $x_{_{N}}$ se reduce a una sumatoria de $I$ segmentos de longitud $N$ . Entonces la DFT se denomina por varios nombres como:

FFT de presuma de ventana^[6]
Suma de pesos traslapados (WOLA)^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]WOLA no debe confundirse con el método de la convolución por partes en:Overlap-add method.

Ejemplo WOLA: File:WOLA channelizer example.png

DFT de polifase^[10]^[11]
Batería de filtrado polifase^[13]
Ventaneo de bloque múltiple y reforzado con sobremuestreo.^[14]

Hay que recordar que el agotamiento de los datos muestreados en un dominio (del tiempo o frecuencia) produce solapamiento (a veces conocido como aliasing) en el otro y viceversa. Comparado a una DFT de $L$ -largo, la sumatoria/traslape $x_{_{N}}$ causa el agotamiento en frecuencia,^[1]^: p.558 dejando solo las muestras de la DTFT menos afectadas por manchado espectral o leakage. Esto es prioritario cuando se implementa un banco de filtros (canalizador) de FFT. Con una función de ventana de longitud $L$ , el manchado espectral sería inaceptable. Así que multibloques de ventanas son creados usando herramientas de diseño en:FIR filter.^[15]^[16] Su perfil de frecuencia es plano en el punto más alto y cae rápidamente a la mitad de las muestras DTFT restantes. Mientras más grande sea el valor del parámetro $I$ , más probabilidades de un mejor comportamiento.

Caso: $L = N +1$ .

Cuando es simétrica la ventana (función) de longitud $L$ , el coeficiente ( $x$ ) truncado por 1 se llama periódica o DFT-suave. El truncamiento afecta a la DTFT. Una DFT de muestras de secuencia truncada de la DTFT a intervalos de frecuencia de $1/ N$ . To sample $x$ at the same frequencies, for comparison, the DFT is computed for one cycle of the periodic summation, $x_{_{N}}.$ An example is figure Sampling the DTFT. La DFT de muestras con reales son el resultado de la simetría de DFT-suave symmetry^[17]^: p.52

Fig 2. DFT of $e i2πn/8$ for $L = 64$ and $N = 256$

Fig 3. DFT of $e i2πn/8$ for $L = 64$ and $N = 64$

Caso: Interpolación de frecuencia. $L \leq N$

In this case, the DFT simplifies to a more familiar form:

X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.

In order to take advantage of a fast Fourier transform algorithm for computing the DFT, the summation is usually performed over all $N$ terms, even though $N - L$ of them are zeros. Therefore, the case $L < N$ is often referred to as zero-padding.

Spectral leakage, which increases as $L$ decreases, is detrimental to certain important performance metrics, such as resolution of multiple frequency components and the amount of noise measured by each DTFT sample. But those things don't always matter, for instance when the $x [n]$ sequence is a noiseless sinusoid (or a constant), shaped by a window function. Then it is a common practice to use zero-padding to graphically display and compare the detailed leakage patterns of window functions. To illustrate that for a rectangular window, consider the sequence:

x[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad

and

L=64.

Figures 2 and 3 are plots of the magnitude of two different sized DFTs, as indicated in their labels. In both cases, the dominant component is at the signal frequency: $f = 1/8 = 0.125$ . Also visible in Fig 2 is the spectral leakage pattern of the $L = 64$ rectangular window. The illusion in Fig 3 is a result of sampling the DTFT at just its zero-crossings. Rather than the DTFT of a finite-length sequence, it gives the impression of an infinitely long sinusoidal sequence. Contributing factors to the illusion are the use of a rectangular window, and the choice of a frequency (1/8 = 8/64) with exactly 8 (an integer) cycles per 64 samples. A Hann window would produce a similar result, except the peak would be widened to 3 samples (see DFT-even Hann window).

Convolución[editar]

Art principal VVV Teorema de convolución#Functions of a discrete variable (sequences) El teorema de convolución para secuencias es:

x*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].

^[18]^: p.297, Oppenheim and Schafer,^[1] p 60, (2.169), y Prandoni and Vetterli,^[3] p 122, (5.21)

An important special case is the en:circular convolution of sequences $x$ and $y$ defined by $x_{_{N}}*y,$ where $x_{_{N}}$ is a periodic summation. The discrete-frequency nature of $\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}$ means that the product with the continuous function $\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}$ is also discrete, which results in considerable simplification of the inverse transform:

x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].

^[19]^[1]^: p.548

For $x$ and $y$ sequences whose non-zero duration is less than or equal to $N$ , a final simplification is:

x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].

The significance of this result is explained at Circular convolution and Fast convolution algorithms.

Symmetry properties[editar]

When the real and imaginary parts of a complex function are decomposed into their even and odd parts, there are four components, denoted below by the subscripts RE, RO, IE, and IO. And there is a one-to-one mapping between the four components of a complex time function and the four components of its complex frequency transform:^[18]^: p.291

${\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ x\quad &=\quad &x_{_{RE}}\quad &+\quad &x_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &x_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ x_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &X\quad &=\quad &X_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ X_{IO}} \quad &+\quad i\ &X_{IE}\quad &+\quad &X_{RO}\end{aligned}}$

From this, various relationships are apparent, for example:

The transform of a real-valued function ( $x Plantilla:Sub + x Plantilla:Sub$ ) is the even symmetric function $X Plantilla:Sub + i X Plantilla:Sub$ . Conversely, an even-symmetric transform implies a real-valued time-domain.
The transform of an imaginary-valued function ( $i x Plantilla:Sub + i x Plantilla:Sub$ ) is the odd symmetric function $X Plantilla:Sub + i X Plantilla:Sub$ , and the converse is true.
The transform of an even-symmetric function ( $x Plantilla:Sub + i x Plantilla:Sub$ ) is the real-valued function $X Plantilla:Sub + X Plantilla:Sub$ , and the converse is true.
The transform of an odd-symmetric function ( $x Plantilla:Sub + i x Plantilla:Sub$ ) is the imaginary-valued function $i X Plantilla:Sub + i X Plantilla:Sub$ , and the converse is true.

Relationship to the Z-transform[editar]

$X_{2\pi }(\omega )$ is a Fourier series that can also be expressed in terms of the bilateral Z-transform. I.e.:

X_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {X}}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}={\widehat {X}}(e^{i\omega }),

where the ${\widehat {X}}$ notation distinguishes the Z-transform from the Fourier transform. Therefore, we can also express a portion of the Z-transform in terms of the Fourier transform:

{\begin{aligned}{\widehat {X}}(e^{i\omega })&=\ X_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}

Note that when parameter $T$ changes, the terms of $X_{2\pi }(\omega )$ remain a constant separation $2\pi$ apart, and their width scales up or down. The terms of $X 1/ T (f)$ remain a constant width and their separation $1/ T$ scales up or down.

Table of discrete-time Fourier transforms[editar]

Some common transform pairs are shown in the table below. The following notation applies:

$\omega =2\pi fT$ is a real number representing continuous angular frequency (in radians per sample). ( $f$ is in cycles/sec, and $T$ is in sec/sample.) In all cases in the table, the DTFT is 2π-periodic (in $\omega$ ).
$X_{2\pi }(\omega )$ designates a function defined on $-\infty <\omega <\infty$ .
$X_{o}(\omega )$ designates a function defined on $-\pi <\omega \leq \pi$ , and zero elsewhere. Then:

X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k).

$\delta (\omega )$ is the Dirac delta function
$\operatorname {sinc} (t)$ is the normalized sinc function
$\operatorname {rect} (t)$ is the rectangle function
$\operatorname {tri} (t)$ is the triangle function
$n$ is an integer representing the discrete-time domain (in samples)
$u[n]$ is the discrete-time unit step function
$\delta [n]$ is the Kronecker delta $\delta _{n,0}$

Time domain x[n]	Frequency domain X_2π(ω)	Remarks	Reference
$\delta [n]$	$X_{2\pi }(\omega )=1$		^[18]^: p.305
$\delta [n-M]$	$X_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}$	integer $M$
$\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!$	$X_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ $X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ odd M $X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ even M	integer $M>0$
$u[n]$	$X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!$ $X_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!$	The $1/(1-e^{-i\omega })$ term must be interpreted as a distribution in the sense of a Cauchy principal value around its poles at $\omega =2\pi k$ .
$a^{n}u[n]$	$X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!$	$0<\|a\|<1$	^[18]^: p.305
$e^{-ian}$	$X_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),$ -π < a < π $X_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)$	real number $a$
$\cos(a\cdot n)$	$X_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],$ $X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k)$	real number $a$ with $-\pi <a<\pi$
$\sin(a\cdot n)$	$X_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]$	real number $a$ with $-\pi <a<\pi$
$\operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]$	$X_{o}(\omega )={\sin[N\omega /2] \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!$	integers $M$ and $N$
$\operatorname {sinc} (W(n+a))$	$X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }$	real numbers $W,a$ with $0<W<1$
$\operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,$	$X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)$	real number $W$ , $0<W<0.5$
${\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\mbox{elsewhere}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )=j\omega$	it works as a differentiator filter
${\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}$	$X_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }$	real numbers $W,a$ with $0<W<1$
${\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )=\|\omega \|$
${\begin{cases}0;&n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ odd}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}$	Hilbert transform
${\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]$	$X_{o}(\omega )=$	real numbers $A,B$ complex $C$

Properties[editar]

This table shows some mathematical operations in the time domain and the corresponding effects in the frequency domain.

$*\!$ is the discrete convolution of two sequences
$x[n]^{*}$ is the complex conjugate of $x [n]$ .

Property	Time domain $x [n]$	Frequency domain $X_{2\pi }(\omega )$	Remarks	Reference
Linearity	$a\cdot x[n]+b\cdot y[n]$	$a\cdot X_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )$	complex numbers $a,b$	^[18]^: p.294
Time reversal / Frequency reversal	$x[-n]$	$X_{2\pi }(-\omega )\!$		^[18]^: p.297
Time conjugation	$x[n]^{*}$	$X_{2\pi }(-\omega )^{*}\!$		^[18]^: p.291
Time reversal & conjugation	$x[-n]^{*}$	$X_{2\pi }(\omega )^{*}\!$		^[18]^: p.291
Real part in time	$\Re {(x[n])}$	${\frac {1}{2}}(X_{2\pi }(\omega )+X_{2\pi }^{*}(-\omega ))$		^[18]^: p.291
Imaginary part in time	$\Im {(x[n])}$	${\frac {1}{2i}}(X_{2\pi }(\omega )-X_{2\pi }^{*}(-\omega ))$		^[18]^: p.291
Real part in frequency	${\frac {1}{2}}(x[n]+x^{*}[-n])$	$\Re {(X_{2\pi }(\omega ))}$		^[18]^: p.291
Imaginary part in frequency	${\frac {1}{2i}}(x[n]-x^{*}[-n])$	$\Im {(X_{2\pi }(\omega ))}$		^[18]^: p.291
Shift in time / Modulation in frequency	$x[n-k]$	$X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}$	integer $k$	^[18]^: p.296
Shift in frequency / Modulation in time	$x[n]\cdot e^{ian}\!$	$X_{2\pi }(\omega -a)\!$	real number $a$	^[18]^: p.300
Decimation	$x[nM]$	${\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!$ La plantilla `{{Fn}}` ya no debe usarse. En su lugar usa el nuevo sistema de referencias..	integer $M$
Time Expansion	$\scriptstyle {\begin{cases}x[n/M]&n={\text{multiple of M}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$	$X_{2\pi }(M\omega )\!$	integer $M$	^[1]^: p.172
Derivative in frequency	${\frac {n}{i}}x[n]\!$	${\frac {dX_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!$		^[18]^: p.303
Integration in frequency	$\!$	$\!$
Differencing in time	$x[n]-x[n-1]\!$	$\left(1-e^{-i\omega }\right)X_{2\pi }(\omega )\!$
Summation in time	$\sum _{m=-\infty }^{n}x[m]\!$	${\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}X_{2\pi }(\omega )+\pi X(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!$
Convolution in time / Multiplication in frequency	$x[n]*y[n]\!$	$X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!$		^[18]^: p.297
Multiplication in time / Convolution in frequency	$x[n]\cdot y[n]\!$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!$	Periodic convolution	^[18]^: p.302
Cross correlation	$\rho _{xy}[n]=x[-n]^{}y[n]\!$	$R_{xy}(\omega )=X_{2\pi }(\omega )^{*}\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!$
Parseval's theorem	$E_{xy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y[n]^{*}}\!$	$E_{xy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )^{*}d\omega }\!$		^[18]^: p.302

Ver también[editar]

Notas[editar]

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). «4.2, 8.4». Discrete-time signal processing (2nd edición). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. (requiere registro). «samples of the Fourier transform of an aperiodic sequence x[n] can be thought of as DFS coefficients of a periodic sequence obtained through summing periodic replicas of x[n].» url=https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf
↑ Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Ahmed
↑ ^a ^b ^c Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Prandoni
↑ Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Rao
↑ Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Matlab
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↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^ñ ^o ^p ^q Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996). Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (en inglés) (3 edición). New Jersey: Prentice-Hall International. Bibcode:1996dspp.book.....P. ISBN 9780133942897. sAcfAQAAIAAJ. (requiere registro).
↑ Error en la cita: Etiqueta <ref> no válida; no se ha definido el contenido de las referencias llamadas Rabiner

Referencias[editar]

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