Usuario:Jose1901c/Capitalización Continua

La Capitalización Continua es una formula que nos ayuda calcular el valor presente y el valor futuro de cierta cantidad con intereses que se ven acumulando es decir, los interese que se ganan en un periodo más la cantidad inicial, se volverán a invertir en el siguiente periodo y así sucesivamente, es por esto que se considera un tipo de capitalización compuesta. La diferencia radica en que los periodos de capitalización son demasiado cortos, casi instantáneos es por esto que se le llaca "Capitalización Continua" por que es casi continua la capitalización de intereses.

Capitalización Continua

La Capitalización Continua se considera un tipo de capitalización compuesta. ​ Si se tiene una tasa nominal constante y la capitalización es más frecuente, el monto compuesto (capital + intereses) aumenta. Esto quiere decir que entre más rápido es la capitalización de los intereses, mayor será el monto esperado. La periodicidad instantánea sería cuando "m" tiende a infinito. Si "m" tiende a infinito también "v". ​

Las fórmulas para obtener el valor futuro y presente de la capitalización continua son: ​

$M\ =\,C\left({1+{\frac {i}{m}}}\right)^{mt}$

$v\ =\ {\frac {m}{i}}$

$M\,=\,C\left[\left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{v}\,\right]^{it}$

$\lim _{v\to \,\infty }\,C\left[\left(1+{\frac {i}{m}}\right)^{v}\,\right]^{it}\ =\,Ce^{it}$

Donde:

• M = Valor Futuro
• C = Valor Presente
• $i$ = Tasa Efectiva
• $m$ = Periodicidad
• $t$ = Tiempo

Por lo tanto simplificando la fórmula, el valor futuro y el valor presente calculado a una tasa instantánea o de capitalización continua será:​

$M\ =\,Ce^{it}$

$C\,={\frac {M}{e^{it}}}$

La nomenclatura se respeta siendo la misma de arriba.

Ejemplos

Calcular el valor futuro de una inversión por $100,000 que se capitaliza instantáneamente a una tasa del 25% anual por 3 años.

$M={100,000}\,e^{0.25(3)}$

$M={211,700}$

Un pagare de 1,000 dólares vence dentro de un mes. Calcula el valor presente al 9% compuesto continuamente

$C\,={\frac {1,000}{e\,^{0.09(1/12)}}}$

$M={992.52}$

Convertibilidad de tasas de la Capitalización Continua

Para poder convertir una tasa nominal capitalizable continuamente a una tasa efectiva se ocupan las siguientes formulas: ​

$M\ =\,Ce^{j}$

$M\ =\,C(1+i)$

$\Rightarrow Ce^{j}=(1+i)$

$\Rightarrow e^{j}=(1+i)$

Donde:

• M = Valor Futuro
• C = Valor Presente
• $j$ = Tasa Nominal Capitalizable Continuamente
• $i$ = Tasa Efectiva

Ejemplo

Calcular la tasa capitalizable continuamente equivalente a una tasa del 19.72% efectiva.

$e^{j}=(1+0.1972)$

$\ln e^{j}=\ln(1+0.1972)$

$j=\ln(1.1972)$

$j=18\%$

Véase también

• Capitalización simple
• Capitalización compuesta
• Valor tiempo del dinero