Usuario:JMSSVAL/Taller

Ecuaciones implícitas de r en función de R y constante de proporcionalidad

La ecuación que describe el área (en el caso bidimensional) o la del volumen (caso tridimensional), que puede pastar la cabra, puede escribirse también en forma implícita utilizando únicamente r y R como variables.

Por otra parte, estas ecuaciones nos permiten determinar fácilmente la relación entre r y R, que resulta ser constante e independiente del radio R.

Caso bidimensional

Esquema para determinar la ecuación implícita de r en función de R (caso bidimensional)

Para el caso bidimensional partiremos del esquema de la figura, sobre la que puede identificarse los sectores circulares E₁E₂ (SC_R), con radio R, y E₁E₂ (SC_r), con radio r, junto con el cuadrilátero E₁ME₂Q (CUAD).

Como el área del cuadrilátero pertenece simultáneamente a los dos sectores circulares, el área disponible para que paste la cabra puede calcularse sumando el área de los sectores circulares SC_R y SC_r y restando el área del cuadrilátero CUAD, de modo que el área de este cuadriláteros se contabilice una sola vez. De acuerdo con el enunciado del problema, este área debe ser igual al mitad del círculo con radio R, con lo que quedará:

(12) $\pi R^{2}/2=Area(SC_{R})+Area(SC_{r})-Area(CUAD)$

Area del cuadrilátero

El cuadrilátero CUAD puede descomponerse en dos triángulos isósceles ME₂Q y ME₁Q. Si trazamos la mediatriz del segmento QE1, el triángulo isósceles ME₁Q queda dividido en dos triángulos rectángulos iguales ME₁T y MQT. Lo mismo sería válido para el triángulo ME₂Q, por lo que el área del cuadrilátero sería la suma del área de cuatro rectángulos iguales que la del triángulo ME₁Q.

Aplicando el teorema de Pitágoras tendríamos que:

$h^{2}=R^{2}-(r/2)^{2}$ y $h={\sqrt {R^{2}-(r/2)^{2}}}$ con lo que el área del triángulo quedaría como $Area(ME_{1}T)={\frac {(r/2){\sqrt {R^{2}-(r/2)^{2}}}}{2}}={\frac {r{\sqrt {R^{2}-(r/2)^{2}}}}{4}}$

y la del cuadrilátero $Area(CUAD)=4Area(ME_{1}T)=r{\sqrt {R^{2}-(r/2)^{2}}}=(r/2){\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}$

Area de los sectores circulares

El área de cada uno de los sectores circulares en función de su radio y los ángulos $\alpha$ y $\beta$ puede expresarse como:

$Area(SC_{R})=2({\frac {\beta R^{2}}{2}})=\beta R^{2}$ y $Area(SC_{r})=2({\frac {\alpha r^{2}}{2}})=\alpha r^{2}$

Aplicando el Teorema del coseno, el ángulo $\gamma$ entre los lados a y b de un triángulo, siendo c el lado opuesto al ángulo, viene dado por la fórmula:

$\gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

Po lo tanto, los ángulos $\alpha$ y $\beta$ pueden relacionarse con los radios R y r mediante las siguientes expresiones:

$\alpha =\arccos {\biggl (}{\frac {r^{2}+R^{2}-R^{2}}{2rR}}{\biggr )}=\arccos {\biggl (}{\frac {r}{2R}}{\biggr )}$ y $\beta =\arccos {\biggl (}{\frac {R^{2}+R^{2}-r^{2}}{2R^{2}}}{\Bigr )}=\arccos {\biggl (}1-{\frac {r^{2}}{2R^{2}}}{\Bigr )}$

resultando que las áreas correspondientes son:

$Area(SC_{R})=\beta R^{2}=R^{2}\arccos {\biggl (}1-{\frac {r^{2}}{2R^{2}}}{\Bigr )}$ y $Area(SC_{r})=\alpha r^{2}=r^{2}\arccos {\biggl (}{\frac {r}{2R}}{\biggr )}$

Determinación de la ecuación implícita

Sustituyendo en (12) las áreas del cuadrilátero y los sectores circulares, determinamos la ecuación implícita que andábamos buscando:

(13) ${\frac {\pi R^{2}}{2}}=R^{2}\arccos {\biggl (}1-{\frac {r^{2}}{2R^{2}}}{\Bigr )}+r^{2}\arccos {\biggl (}{\frac {r}{2R}}{\biggr )}-{\frac {r{\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}}{2}}$

Esta es una ecuación trascendente que podemos resolver mediante un método iterativo para cada valor de R, como se describió anteriormente.

Si consideramos R = 1, quedaría

${\frac {\pi }{2}}=\arccos {\biggl (}1-{\frac {r^{2}}{2}}{\Bigr )}+r^{2}\arccos {\biggl (}{\frac {r}{2}}{\biggr )}-{\frac {r{\sqrt {4^{2}-r^{2}}}}{2}}$, es decir la misma ecuación que (10), como no podía ser de otra manera.

Relación entre r y R. Constante de proporcionalidad

Una curiosidad del problema es que r y R son proporcionales, para cualquier R. Esto puede deducirse si resolvemos la ecuación trascendente para varios valores de R, pero es mucho más "matemático" demostrarlo con una ecuación.

A partir de la ecuación (13), dividiendo todo por $R^{2}$, nos quedaría:

(14) ${\frac {\pi }{2}}=\arccos {\biggl (}1-{\frac {r^{2}}{2R^{2}}}{\Bigr )}+{\frac {r^{2}\arccos {\biggl (}{\frac {r}{2R}}{\biggr )}}{R^{2}}}-{\frac {r{\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}}{2R^{2}}}=\arccos {\biggl (}1-{\frac {r^{2}}{2R^{2}}}{\Bigr )}+{\frac {r^{2}\arccos {\biggl (}{\frac {r}{2R}}{\biggr )}}{R^{2}}}-{\frac {r{\sqrt {4-(r/R)^{2}}}}{2R}}$

Realizando el cambio de variable $m={\frac {r}{R}}$, nos queda:

(15) ${\frac {\pi }{2}}=\arccos {\biggl (}1-{\frac {m^{2}}{2}}{\Bigr )}+m^{2}\arccos {\biggl (}{\frac {m}{2}}{\biggr )}-{\frac {m{\sqrt {4-m^{2}}}}{2}}$, que vuelve a ser la ecuación (10), pero esta vez con la variable m.

por lo que su solución será también $m=1.15872847301812...$, con lo que la constante de proporcionalidad será $r/R=1.15872847301812...$

Caso tridimensional

Tal y como se ha indicado anteriormente, el volumen que puede pastar la cabra tiene la forma de una lente tridimensional delimitada por dos casquetes esféricos de radio r y R respectivamente.

Determinación de las magnitudes necesarias

El volumen de un casquete esférico viene dado por la fórmula genérica:

Esquema para determinar la ecuación implícita de r en función de R (caso tridimensional)

(16) $V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)$, dónde h es la altura del casquete esférico y r el radio de la esfera.

Por tanto, es necesario determinar la altura y el radio correspondientes a cada casquete.

Sobre un corte meridional de la esfera, podemos representar las diferentes magnitudes tal y como se muestra en el esquema de la figura, siendo:

$H=a+b$, la altura del casquete esférico superior y $h=R-b$ la altura del casquete esférico inferior.

Las ecuaciones de las circunferencias C1 y C2 vienen dadas por:

(C1) $x^{2}+y^{2}=R^{2}$

(C2) $x^{2}+(y+R)^{2}=r^{2}$

Resolviendo el sistema de ecuaciones determinamos los puntos de corte entre ambas circunferencias:

$E_{2}{\biggl (}-r{\frac {\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}{2R}},{\frac {-2R^{2}+r^{2}}{2R}}{\biggr )}$ y $E_{1}{\biggl (}r{\frac {\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}{2R}},{\frac {-2R^{2}+r^{2}}{2R}}{\biggr )}$ y, por tanto, tenemos

(17) $b=-{\frac {-2R^{2}+r^{2}}{2R}}={\frac {2R^{2}-r^{2}}{2R}}$, cambiando el signo para que b sea una cantidad positiva

(18) $c=r{\frac {\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}{2R}}$

El punto de corte de la circunferencia (C2) con el eje de ordenadas nos permite determinar que

(19) $a=r-R$

Cambio de variable

Cómo, además de obtener una ecuación implícita que relacione r con R, también queremos obtener la constante de proporcionalidad $m={\frac {r}{R}}$, empezaremos por determinar dicha constante, para lo que hacemos el cambio de variable $m={\frac {r}{R}}$ en (17), (18) y (19) y nos queda:

(20) $b={\frac {2R^{2}-r^{2}}{2R}}={\frac {R^{2}(2-r^{2}/R^{2})}{2R}}={\frac {R}{2}}(2-m^{2})$

(21) $c=r{\frac {\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}{2R}}={\frac {r}{2R}}{\sqrt {4R^{2}-r^{2}}}={\frac {rR}{2R}}{\sqrt {4-r^{2}/R^{2}}}={\frac {Rm}{2}}{\sqrt {4-m^{2}}}$

(22) $a=r-R=R(m-1)$

Sustituyendo estos valores tenemos:

(23) $H=a+b=r-R+{\frac {R}{2}}(2-m^{2})={\frac {2r-2R+2R-Rm^{2}}{2}}={\frac {2r-Rm^{2}}{2}}={\frac {2Rm-Rm^{2}}{2}}=R{\frac {2m-m^{2}}{2}}$, y

(24) $h=R-b=R-{\frac {R}{2}}(2-m^{2})={\frac {2R-R(2-m^{2})}{2}}={\frac {2R-2R+Rm^{2}}{2}}={\frac {Rm^{2}}{2}}$

Haciendo uso del Teorema de Pitágoras, podemos comprobar que no hemos cometido errores, ya que las ecuaciones:

$R^{2}=b^{2}+c^{2}$ y $r^{2}=h^{2}+c^{2}$ deben conducir a sendas identidades, si no hay errores de cálculo.

Volumen de los casquetes esféricos

Una vez determinadas las alturas H y h en función del radio R y la constante de proporcionalidad m, aplicando la fórmula (16), podemos obtener el volumen de los casquetes esféricos disponibles como pasto de la cabra:

Casquete esférico superior

$V_{S}={\frac {\pi (R{\frac {2m-m^{2}}{2}})^{2}}{3}}{\biggl (}3r-R{\frac {2m-m^{2}}{2}}{\biggr )}={\frac {\pi (R{\frac {2m-m^{2}}{2}})^{2}}{3}}{\biggl (}3Rm-R{\frac {2m-m^{2}}{2}}{\biggr )}={\frac {\pi (R{\frac {2m-m^{2}}{2}})^{2}}{3}}R{\frac {4m+m^{2}}{2}}={\frac {\pi R^{3}(2m-m^{2})^{2}(4m+m^{2})}{24}}$

y desarrollando los binomios en m

(25) $V_{S}={\frac {\pi R^{3}(16m^{3}-16m^{4}+4m^{5}-4m^{4}-4m^{5}+m^{6})}{24}}={\frac {\pi R^{3}(16m^{3}-12m^{4}+m^{6})}{24}}$

Casquete esférico inferior

(26) $V_{I}={\frac {\pi }{3}}{\biggl (}{\frac {Rm^{2}}{2}}{\biggr )}^{2}{\biggl (}3R-{\frac {Rm^{2}}{2}}{\biggr )}={\frac {\pi }{24}}(R^{2}m^{4}){\biggl (}3R-{\frac {Rm^{2}}{2}}{\biggr )}={\frac {\pi R^{3}}{24}}(6m^{4}-m^{6})$

Relación entre r y R. Constante de proporcionalidad

De acuerdo con el enunciado del problema, podemos escribir

${\frac {1}{2}}V_{E}=V_{S}+V_{I}$, siendo $V_{E}=(4/3)\pi R^{3}$ el volumen de la esfera de radio R. Sustituyendo los valores de las ecuaciones (25) y (26), nos queda:

${\frac {4\pi R^{3}}{6}}={\frac {\pi R^{3}}{24}}(16m^{3}-12m^{4}+m^{6}+6m^{4}-m^{6})={\frac {\pi R^{3}}{24}}(16m^{3}-6m^{4})$, simplificando y reordenando, nos queda

(27) $3m^{4}-8m^{3}+8=0$

resolviendo la ecuación por métodos numéricos, se obtiene $m=1,228544863735...$

Determinación de la ecuación implícita

Una vez se tiene el valor de m, la determinación de la ecuación implícita es inmediata:

$3(r/R)^{4}-8(r/R)^{3}+8=0$, simplificando

(28) $3r^{4}-8Rr^{3}+8R^{4}=0$, que particularizando para $R=1$, se transforma en

$3r^{4}-8r^{3}+8=0$, cuya solución es nuevamente $m=1,228544863735...$