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Intersecciones CSG

La geometría constructiva de sólidos CSG (Constructive Solid Geometry) es una técnica usada para modelado de sólidos a partir de cuerpos elementales (cubos y paralelepípedos, cilindros circulares y poligonales, esferas y elipsoides, conos de base poligonal, opcionalmente truncados), mediante operaciones de construcción (Escala, Rotación, Traslación, Unión, Intersección y Diferencia).

Este artículo pertenece a una serie de artículos centrados en la determinación analítica/geométrica de la superficie y volumen de la intersección entre dos o más cuerpos.

Intersección cubo - esfera

Geometría

La geometría de la intersección entre un cubo y una esfera con centro común depende de la relación entre la diagonal del cubo D y el radio de la esfera R, pudiéndose diferenciar geométricamente los siguientes casos:

1) $D\leq 2R$., la intersección es el propio cubo, ya que éste es completamente interior a la esfera, llegando a ser un cubo inscrito en la esfera cuando $D=2R$.

2) $D\geq 2{\sqrt {3}}R$, la intersección es una esfera, ya que ésta es completamente interior al cubo, partiendo de una esfera inscrita en el cubo cuando $D=2{\sqrt {3}}R$.

3) $2R<D<2{\sqrt {3}}R$, la intersección tiene forma de dado con vértices redondeados, a su vez, con dos casos particulares:

• 3a) $2R<D<{\frac {2{\sqrt {3}}R}{\sqrt {2}}}$, el dado tiene únicamente los vértices redondeados, hasta que la distancia entre aristas del cubo alcanza la longitud del diámetro de la esfera, es decir $D={\frac {2{\sqrt {3}}R}{\sqrt {2}}}$, es decir, el caso 3b).
• 3b) ${\frac {2{\sqrt {3}}R}{\sqrt {2}}}<D<2{\sqrt {3}}R$, además de los vértices, el dado tiene también las aristas redondeadas, hasta que la esfera llega a quedar inscrita en el cubo cuando $D=2{\sqrt {3}}R$, es decir, el caso 2).

Determinación de volúmenes

Por tanto, nos queda por determinar las ecuaciones para el volumen de la intersección descrita como caso 3), teniendo en cuenta su particularización para cada uno de los dos casos particulares, 3a) y 3b).