Usuaria:Mar del Sur/Metamatemática

La metamatemática es el estudio matemático de los fundamentos de las matemáticas.

En el año 1920 el matemático David Hilbert presentó la exigencia de establecer la matemáticas sobre la base de un sistema axiomático completo y libre de contradicciones. Este afán se conoce como el programa de Hilbert. Para el análisis de los fundamentos de la matemática con métodos matemáticos acuñó el término de «metamatemática» análogamente al de metafísica.

El programa de Hilbert parecía fracasar desde que el teorema de incompletitud de Gödel demostraba que no existe un sistema de axiomas que responda a las exigencias de Hilbert. En particular, no es posible desarrollar un sistema formal en el cual todas las expresiones verdaderas puedan también ser demostradas.

Tras las demostraciones acerca de la libertad de contradicciones para una parte de la aritmética realizadas por Leopold Löwenheim, Albert Thoralf Skolem, Jacques Herbrand y Mojżesz Presburger, Gerhard Gentzen arribó a una demostración sobre la libertad de contradicciones para el primer orden de la aritmética de Peano, para la que, sin embargo, utilizó la así llamada inducción transfinita. Pero todas estas demostraciones tienen en común que - en concordancia con el teorema de incompletitud de dem Gödel - no se pudieron realizar dentro de la aritmética misma.

Acerca de los conjuntos decidibles hubo resultados importantes de Alonzo Church, quien pudo demostrar la indecidibilidad de la lógica de predicados en todos los órdenes. El concepto de recursividad es quivalente al de computabilidad.

Paul Lorenzen desarrolló en 1951 una demostración libre de contradicciones para la teoría de tipos ramificada. Esta demostración provee la libertad de contradicción para partes del análisis clásico. En su libro Metamathematik, publicado en 1962 concibe la metamatemática como una «matemática de las metateorías», donde una metateoría constituye una teoría (constructiva o axiomática) acerca de teorías axiomáticas.

A través del usos de la regla-$\omega$ (inducción infinita) se obtiene un semiformalismo completo (K. Schütte) de la aritmética y con ello una demostración libre de contradicciones de la matemática constructiva mediante la incorporación del teorema fundamental de Gentzen.

Véase también

• Teoría de la demostración
• Programa de Hilbert
• Metalógica
• Filosofía de la matemática

Enlaces externos

• metamath Website

Bibliografía

• David Hilbert, Paul Bernays: Grundlagen der Mathematik, I-II, Berlin/Heidelberg/New York 1968/1970²
• Paul Lorenzen: Die Widerspruchsfreiheit der klassischen Analysis, Mathematische Zeitschrift (54) 1951
• P. Lorenzen: Algebraische und Logische Untersuchungen über freie Verbände, The Journal of Sybmolic Logik (16) Providence 1951
• Stephen Cole Kleene: Introduction to Metamathematics. Amsterdam Groningen 1952
• K. Schütte: Beweistheorie. Berlin Göttingen Heidelberg 1960
• P. Lorenzen: Metamathematik. Mannheim 1962 1980²
• Wolfgang Stegmüller: Unvollständigkeit und Unendscheidbarkeit. Die metamathematischen Resultate von Gödel, Church, Kleene, Rosser und ihre erkenntnistheoretische Bedeutung, Wien/New York 1973³
• Douglas R. Hofstadter, Gödel, Escher, Bach ein Endloses Geflochtenes Band, ISBN 3-608-94338-2
• G. Wolters: Metamathematik, Artikel in: Mittelstraß (hrsg.) Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie 2 Mannheim Wien Zürich 1984

[[Categoría:Filosofía de la matemática]] [[Categoría:Lógica]] [[en:Metamathematics]] [[hu:Metamatematika]] [[id:Metamatematika]] [[it:Metamatematica]] [[ja:超数学]] [[nl:Metawiskunde]] [[no:Metamatematikk]] [[pl:Metamatematyka]] [[ru:Метаматематика]] [[sk:Metamatematika]] [[sv:Metamatematik]] [[uk:Метаматематика]] [[zh:元数学]]