Transporte paralelo

En matemáticas, un transporte paralelo en una variedad M con conexión especificada es un modo de transportar vectores sobre curvas diferenciables de manera que permanezcan "paralelos" respecto a la conexión dada.

Campos paralelos sobre curvas diferenciables

Un campo vectorial $X$ sobre una curva diferenciable $\gamma$ se llama paralelo si

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0$

para cualquier t.

Transporte paralelo

Sean M una variedad diferenciable con conexión $\nabla$ y $\gamma :I\longrightarrow M$ una curva suave. Sean $t_{0}\in I$ y $\omega _{0}\in T_{\gamma (t_{0})}M$. Entonces existe un único campo vectorial paralelo ω a lo largo de $\gamma$ tal que $\omega (t_{0})=\omega _{0}$. $\omega$ se llama transporte paralelo de $\omega _{0}$ a lo largo de $\gamma$.

Geodésicas

Las geodésicas en variedades (seudo-)Riemannianas se definen de la siguiente manera. Sea M una variedad diferenciable con conexión $\nabla$. Una curva diferenciable $\gamma :I\longrightarrow M$ es una geodésica si ${\dot {\gamma }}$ (como campo vectorial a lo largo de $\gamma$) es paralelo a lo largo de sí misma. En otras palabras, si

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0$

Campos vectoriales paralelos y geodésicos

Un campo vectorial $X$ sobre M se denomina paralelo si

$\nabla _{v}X=0\quad \forall v\in TM$

y geodésico si

$\nabla _{X}X=0$.

Véase también

• Conexión afín
• Derivada covariante
• Curvas geodésicas

• Datos: Q1814838
• Multimedia: Parallel transport / Q1814838