Transporte paralelo

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En matemáticas, un transporte paralelo en una variedad M con conexión especificada es un modo de transportar vectores sobre curvas diferenciables de manera que permanezcan "paralelos" respecto a la conexión dada.

Campos paralelos sobre curvas diferenciables[editar]

UIn campo vectorial X sobre una curva diferenciable \gamma se llama paralelo si

\nabla_{\dot\gamma(t)}X=0

para cualquier t.

Transporte paralelo[editar]

Sean M una variedad diferenciable con conexión \nabla y \gamma: I \longrightarrow M una curva suave. Sean t_0 \isin I y \omega_0 \isin T_{\gamma(t_0)} M. Entonces existe un único campo vectorial paralelo ω a lo largo de \gamma tal que \omega(t_0) = \omega_0. \omega se llama transporte paralelo de \omega_0 a lo largo de \gamma.

Geodésicas[editar]

Las geodésicas en variedades (seudo-)Riemannianas se definen de la siguiente manera. Sea M una variedad diferenciable con conexión \nabla. Una curva diferenciable \gamma: I \longrightarrow M es una geodésica si \dot\gamma (como campo vectorial a lo largo de \gamma) es paralelo a lo largo de sí misma. En otras palabras, si

\nabla_{\dot\gamma(t)}\dot\gamma = 0

Campos vectoriales paralelos y geodésicos[editar]

Un campo vectorial X sobre M se denomina paralelo si

\nabla_vX = 0\quad \forall v \in TM

y geodésico si

\nabla_X X = 0.

Véase también[editar]