Transformación conforme

En matemáticas, una transformación conforme es una función que preserva ángulos. En el caso más común la función es entre dominios del plano complejo.

Análisis complejo

En el análisis complejo, una transformación conforme es una función $f\colon A\rightarrow \mathbb {C}$, diferenciable en $z_{0}\in A\subset \mathbb {C}$, que preserva el ángulo que dos curvas

$\alpha \colon [a,b]\rightarrow A$ y $\beta \colon [a,b]\rightarrow A$, diferenciables en $\alpha ^{-1}\,(z_{0})$ y $\beta ^{-1}\,(z_{0})$, respectivamente, forman entre sí en $z_{0}$. Es decir f es conforme en $z_{0}$ cuando se verifica

$\arg \left[{\frac {(f\circ \alpha )'(z_{0})}{(f\circ \beta )'(z_{0})}}\right]=\arg \left[{\frac {\alpha '(z_{0})}{\beta '(z_{0})}}\right]$,

siempre y cuando $\alpha \,'(z_{0})$ y $\beta \,'(z_{0})\,$ sean vectores tangentes no nulos.

Una definición equivalente es que una función es conforme si y solamente si es holomorfa o antiholomorfa (es decir conjugada de una holomorfa) y su derivada es por todas partes diferente a cero. El teorema de representación conforme de Riemann establece que cualquiera subconjunto propio abierto y simplemente conexo de C admite una función conforme sobre un disco unitario abierto en C.

Una función del plano complejo extendido (que es equivalente conforme a una esfera) sobre sí mismo es conforme (si y sólo si) es una transformación de Moebius o su conjugada.