Teorema de Sturm

El teorema de Sturm fue desarrollado por el matemático francés Jacques Charles François Sturm. Es útil para hallar los ceros de una función polinómica en un determinado intervalo. Dice lo siguiente:

A partir de un polinomio dado $f(x)\,$, se suponen los siguientes polinomios $f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x),...,f_{r}(x)\,\!$ cumpliendo lo siguiente:

$f_{1}(x)=f'(x)\,\!$

$f(x)=q_{1}f_{1}(x)-f_{2}(x)\,\!$

$f_{1}(x)=q_{2}f_{2}(x)-f_{3}(x)\,\!$

$f_{r-1}(x)=q_{r}f_{r}(x)\,\!$

(Esto es, básicamente, el algoritmo de Euclides)

Para todo número real que no sea una raíz de $f(x)\,$, sea $v(a)\,$ el número de variaciones en el signo de la sucesión numérica:

$f(a),f_{1}(a),f_{2}(a),...,f_{r}(a)\,\!$

en la que se omiten todos los ceros. Si $b\,$ y $c\,$ son números cualesquiera $(b<c)\,$, para los cuales $f(x)\,$ no se anula, entonces el número de raíces distintas en el intervalo $[b,c]\,$ (las raíces múltiples se cuentan solo una vez) es igual a $v(b)-v(c)\,$

Ejemplo

Supongamos que queremos buscar el número de raíces en un rango, del polinomio $p(x)=x^{4}+x^{3}-x-1$. Entonces

${\begin{aligned}p_{0}(x)&=p(x)=x^{4}+x^{3}-x-1\\p_{1}(x)&=p'(x)=4x^{3}+3x^{2}-1\end{aligned}}$

Usando la división polinomial para dividir p₀ entre p₁ tenemos como resto $-{\tfrac {3}{16}}x^{2}-{\tfrac {3}{4}}x-{\tfrac {15}{16}}$, y multiplicando ese resto por −1 obtenemos $p_{2}(x)={\tfrac {3}{16}}x^{2}+{\tfrac {3}{4}}x+{\tfrac {15}{16}}$. Luego dividiendo p₁ por p₂ y multiplicando el resto por −1, obtenemos $p_{3}(x)=-32x-64$. Y dividiendo p₂ por p₃ y multiplicando el resto por −1, obtenemos $p_{4}(x)=-{\tfrac {3}{16}}$.

Entonces la cadena completa de polinomios de Sturm es:

$p_{0}(x)=x^{4}+x^{3}-x-1$

$p_{1}(x)=4x^{3}+3x^{2}-1$

$p_{2}(x)={\tfrac {3}{16}}x^{2}+{\tfrac {3}{4}}x+{\tfrac {15}{16}}$

$p_{3}(x)=-32x-64$

$p_{4}(x)=-{\tfrac {3}{16}}$

Para encontrar el número de raíces entre −∞ y ∞, primero se evalúa p₀, p₁, p₂, p₃, y p₄ en −∞ y se obtiene la secuencia de signos resultantes: + − + + −, que tiene tres cambios de signo (+ a −, luego − a +, luego + a −). El mismo procedimiento para ∞ da como resultado la secuencia de signos + + + − −, que contiene solamente un cambio de signo. Entonces, el número de raíces del polinomio original entre −∞ y ∞ es 3 − 1 = 2. Es posible asegurar que es correcto al ver que p(x) = x⁴ + x³ − x − 1 puede ser factorizado como (x² − 1)(x² + x + 1), donde es claramente verificable que x² − 1 tiene dos raíces −1 y 1 mientras que x² + x + 1 no tiene raíces reales. En casos más complicados donde no existe un conocimiento avanzado sobre las raíces porque la factorización es imposible o impracticable, se puede experimentar con varios límites finitos, encontrando así la localización de las raíces.

Demostración del teorema de Sturm

En primer lugar hay que dejar claro que, dada una sucesión de números reales en la que previamente se ha prescindido de posibles elementos nulos, se dice que dos términos consecutivos presentan variación cuando son de signos opuestos. Por ejemplo, en la sucesión 1, 3, -5, -2, 7 presenta dos variaciones.

Establecido este concepto, considérese una ecuación $f(x)=0\,$ de grado $n\,$ que se supondrá que admite únicamente raíces simples (lo que no restringe la generalidad, pues toda ecuación con raíces múltiples puede reducirse a otra que tiene las mismas raíces, pero simples. Este hecho se comprueba porque $f_{r}(x)\,$ en la cadena anterior, es el máximo común divisor de cualquier par de polinomios de la misma. Por ello, al dividir todos los polinomios por $f_{r}(x)\,$ se consegue rebajar los órdenes de multiplicidad de las raíces a uno.

Así pues, consideramos la llamada sucesión de Sturm resultante de dividir por $f_{r}(x)\,$. Llamamos a los términos de dicha sucesión: $f_{0}(x),f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{r}(x)\,$

En estas condiciones, si $x_{q}\,$ es un cero de $f_{k}(x)\Rightarrow f_{k-1}(x_{q})\not =0\,$ y $f_{k+1}(x_{q})\not =0\,$, puesto que si alguno de los dos fuese cero, lo sería el otro en virtud de la relación:

$f_{k-1}(x)=q_{k}f_{k}(x)-f_{k+1}(x)\,$

y descendiendo sería $f_{r}(x_{q})=0\,$ !!! Lo cual es absurdo pues debería ser constante distinta de cero.

Sea un intervalo cerrado cualquiera y estúdiese la variación de signo en ese intervalo. Para ello considérese $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{p}\,$ todas las raíces ordenadas de menor a mayor de los polinomios $f_{0}(x),f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{r}(x)\,$ en el intervalo.

En los intervalos del tipo $(x_{i},x_{i+1})\,$ no se anula ningún polinomio de la cadena, por tanto no hay variaciones en el signo, así pues, $v(a)=cte,\forall a\in (x_{i},x_{i+1})\,$.

Visualización gráfica del Teorema de Sturm para raíces de $f_{k}(x)$

Pero supóngase ahora que $x_{q}\,$ es raíz de $f_{k},k=1,2,...,r\,$. Por lo visto antes, si $f_{k}(x_{q})=0\Rightarrow f_{k-1}(x_{q})\,$ y $f_{k+1}(x_{q})\,$ son distintos de cero y, por tanto lo son en $(x_{q-1},x_{q}]\,$ y $[x_{q},x_{q+1})\,$. Tenemos, pues, la siguiente situación:

$f_{k}(x_{q})=0\,$

$f_{k+1}(x)\not =0\,$

$f_{k-1}(x)\not =0\,$

$\forall x\in (x_{q-1},x_{q+1})\,$

Teniendo en cuenta que $\mathrm {sign} [f_{k-1}(x)]\not =\mathrm {sign} [f_{k+1}(x)]\,$. Luego en la sucesión $f_{k+1},f_{k},f_{k-1}\,$ siempre hay un cambio de signo, por lo que $v(a)=1,\forall a\in (x_{q-1},x_{q+1})\,$. Es decir, para valores de $x\,$ a la izquierda de $x_{q}\,$ hay una variación. Para valores a la derecha de $x_{q}\,$ hay otra variación. Por tanto al pasar por $x_{q}\,$, las variaciones de signo no cambia, esto es, $v(b)-v(a)=0\,$ con $a\,$ a la izquierda de $x_{q}\,$ y $b\,$ un valor a la derecha de $x_{q}\,$ sin ser ceros de $f_{k}(x)\,$.

Visualización gráfica del Teorema de Sturm para raíces de $f_{0}(x)=f(x)$

Ahora considérese que $x_{q}\,$ es raíz de $f(x)\,$. Por tanto será raíz simple de $f_{0}(x)\,$. Según el algoritmo, $f_{1}(x)\,$ y $f_{2}(x)\,$ tendrán el mismo signo en un intervalo de esta nueva raíz $x_{q}\,$. Esto quiere decir que si para un intervalo (bien a la izquierda o a la derecha de $x_{q}\,$) la función $f_{0}(x)\,$ toma signos iguales que $f_{1}(x)\,$ y $f_{2}(x)\,$, al pasar $x\,$ por el cero de $f_{0}(x)=f(x)\,$,esto es, $x_{q}\,$, entonces $f(x)\,$ tomará distintos valores que $f_{1}(x)\,$ y $f_{2}(x)\,$ al otro lado de la raíz $x_{q}\,$. A un lado de dicha raíz habrá variación nula de signo, y al otro lado habrá un cambio (variación) de signo. Lo cual quiere decir ahora que $v(b)-v(a)=1\,$ y, por tanto, hay variación neta de signo al pasar por una raíz de $f_{0}(x)\,$ es decir, por $f(x)\,$.

En resumen, si al pasar $x\,$ por un cero de $f(x)\,$ se pierde (o se gana) una variación, mientras que al pasar por un cero de $f_{k}(x)\,$ no aumenta ni disminuye el número de ellas, se concluye que las variaciones de la sucesión de Sturm que se pierden (o ganan) cuando $x\,$ va desde $a\,$ hasta $b\,$ son tantas como las raíces de la ecuación $f(x)=0\,$ contenidas en el intervalo $(a,b)\,$

Bibliografía

• Elementos de Matemáticas. Universidad de Valladolid. (1985)

• Datos: Q1632301