Teorema de unicidad del potencial

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El teorema de unicidad del potencial es un teorema de la electrostática que emplea propiedades de la solución de la ecuación de Laplace. Es la aplicación directa del problema de Dirichlet a la electrostática.

Enunciado del teorema[editar]

El potencial que cumple la ecuación de Poisson en una cierta región R con unas ciertas condiciones de contorno dadas en su superficie S es único. O lo que es lo mismo, dados \ V_1 y  \ V_2 definidos en R que cumplen:

\nabla^2 V_1=\frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad V_1|_S=f
\nabla^2 V_2=\frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad V_2|_S=f

implica que:

 V_1=V_2 \qquad\forall \mathbf r\in R

Demostración[editar]

Sea \ V_1 y  \ V_2 soluciones de la ecuación de Poisson en una cierta región R:

\nabla^2 V=\frac{\rho}{\epsilon_0}

cumpliendo las condiciones de contorno

\ V_1|_S=V_2|_S=f

siendo S la superficie que delimita dicho volumen.

Tomando  \ V_1=V_2+\chi por las condiciones anteriores ha de cumplirse que:

 \nabla^2 V_1=\nabla^2 V_2=\nabla^2 V_1+\nabla^2 \chi \qquad\Rightarrow\qquad \nabla^2\chi=0 \qquad\forall \mathbf r\in R
\ V_1|_S=V_2|_S=V_1|_S+\chi|_S=f \qquad\Rightarrow\qquad \chi|_S=0

Dado que  \ \chi cumple la ecuación de Laplace, no posee máximos ni mínimos locales, el valor máximo y mínimo se alcanza en la frontera ( \ \chi|_S=0 ) de modo que concluimos

 \ \chi=0 \qquad\forall \mathbf r\in R

o lo que es lo mismo:

 V_1=V_2 \qquad\forall \mathbf r\in R

Aplicaciones[editar]

Es el fundamento teórico del método de las imágenes, un método de cálculo de potenciales en electrostática.

A través de este teorema también se explica el fenómeno denominado jaula de Faraday.

Véase también[editar]

Bibliografía utilizada[editar]

  • Introduction to electrodynamics, David J. Griffiths.