Teorema de Seifert-van Kampen

En matemáticas, concretamente en topología algebraica, el teorema de Seifert–van Kampen, a veces conocido simplemente como el teorema de van Kampen, expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico X respecto de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos y conexos por caminos U y V que recubren X. Se puede emplear por tanto para obtener el grupo fundamental de espacios construibles a partir de espacios más sencillos.

Sea $X$ un espacio topológico, $X=U_{1} \cup U_{2}$, con $U_{1}, U_{2}$ subconjuntos abiertos y conexos por caminos, tales que $U_{1}\cap U_{2} \neq \varnothing$ también es conexo por caminos. Sea $x_{0} \in U_{1}\cap U_{2}$. Supongamos que conocemos los grupos fundamentales $\Pi(U_{1},x_{0})=<S_{1}; R_{1}>\,$, $\Pi(U_{2},x_{0})=<S_{2}; R_{2}>\,$ y $\Pi(U_{1}\cap U_{2}, x_{0})=<S; R>$. Entonces, $\Pi(X, x_{0})=<S_1 \cup S_2 ; R_1 \cup R_2 \cup \{ (i_1)_{*}(s)((i_2)_{*}(s))^{-1} | s\in S \} >$, donde, si $i_1 : U_1 \cap U_2 \rightarrow U_1$ y $i_2 : U_1 \cap U_2 \rightarrow U_2$ son las inclusiones naturales, entonces $(i_1)_{*}$ y $(i_2)_{*}$ son las aplicaciones inducidas tales que $(i_1)_{*} : \Pi(U_1 \cup U_2, x_0) \rightarrow \Pi(U_1, x_0)$ que actúa $[\alpha] \rightarrow (i_1)_{*}([\alpha]):=[i_1 \circ \alpha]$, y análogamente $(i_2)_{*} : \Pi(U_1 \cup U_2, x_0) \rightarrow \Pi(U_2, x_0)$ que actúa $[\alpha] \rightarrow (i_2)_{*}([\alpha]):=[i_2 \circ \alpha]$.