Teorema de Seifert-van Kampen

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En matemáticas, concretamente en topología algebraica, el teorema de Seifertvan Kampen, a veces conocido simplemente como el teorema de van Kampen, expresa la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico X respecto de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos y conexos por caminos U y V que recubren X. Se puede emplear por tanto para obtener el grupo fundamental de espacios construibles a partir de espacios más sencillos.

Sea X un espacio topológico, X=U_{1} \cup U_{2}, con U_{1}, U_{2} subconjuntos abiertos y conexos por caminos, tales que U_{1}\cap U_{2} \neq \varnothing también es conexo por caminos. Sea x_{0} \in U_{1}\cap U_{2}.

Supongamos que conocemos los grupos fundamentales

\Pi(U_{1},x_{0})=<S_{1}; R_{1}>\,,
\Pi(U_{2},x_{0})=<S_{2}; R_{2}>\, y
\Pi(U_{1}\cap U_{2}, x_{0})=<S; R>.

Entonces, \Pi(X, x_{0})=<S_1 \cup S_2 ; R_1 \cup R_2 \cup \{ (i_1)_{*}(s)((i_2)_{*}(s))^{-1} | s\in S \} >, donde,
si i_1 : U_1 \cap U_2 \rightarrow U_1 y i_2 : U_1 \cap U_2 \rightarrow U_2 son las inclusiones naturales,
entonces (i_1)_{*} y (i_2)_{*} son las aplicaciones inducidas tales que

(i_1)_{*} : \Pi(U_1 \cup U_2, x_0)  \rightarrow  \Pi(U_1, x_0) que actúa [\alpha] \rightarrow (i_1)_{*}([\alpha]):=[i_1 \circ \alpha],

y análogamente

(i_2)_{*} : \Pi(U_1 \cup U_2, x_0)  \rightarrow  \Pi(U_2, x_0) que actúa [\alpha] \rightarrow (i_2)_{*}([\alpha]):=[i_2 \circ \alpha].

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