Teorema de Hermite-Lindemann

El teorema de Hermite-Lindemann establece que si a es un número algebraico distinto de cero, entonces el número e^a es trascendente.

Historia

El teorema fue demostrado en 1882 por Carl Louis Ferdinand von Lindemann.​ En 1885, Karl Weierstraß dio una generalización, conocida como teorema de Lindemann–Weierstrass. Una generalización más reciente es el teorema de Baker.

Trascendencia de e y de π

En particular, e es trascendente, resultado demostrado por Charles Hermite en 1873.​​ Esta prueba es conocida como el teorema de Hermite.

La trascendencia de π es también un corolario del teorema de Lindemann: sin(π) = 0, pero del teorema se deduce más generalmente la trascendencia de cualquier número distinto de cero t donde (por ejemplo) la función seno es algebraica. De hecho, teniendo en cuenta las fórmulas de Euler (las relaciones entre cos (t), sin (t) y e^it), tan pronto como uno de los tres es algebraico, los tres son, en particular e^it algebraicos, de modo que por contraposición lógica del teorema, el número it es por tanto trascendente, y t también lo es.

El enfoque original de Hermite para e fue simplificado y extendido a π por David Hilbert (en 1893),​​ para finalmente convertirse en elemental gracias a Adolf Hurwitz y Paul Gordan. Al adaptar la estrategia de la demostración de la transcendencia de π a la correspondiente demostración de e, los datos sobre polinomios simétricos juegan un papel fundamental.

Para obtener información detallada sobre las demostraciones de la trascendencia de e y de π, consúltense referencias y anexos.

Imposibilidad de la cuadratura del círculo

Pierre Wantzel había demostrado en 1837 que el problema de la imposibilidad de la cuadratura del círculo podía deducirse de la trascendencia hipotética del número π (véase teorema de Wantzel para más detalles). Al demostrar que π no es algebraico, Lindemann logró demostrar que es imposible construir con regla y compás un cuadrado de la misma área que un círculo dado, resolviendo así en negativo uno de los problemas matemáticos más antiguos desde la Grecia clásica.

Bibliografía

• Alan Baker (1990 (1ª ed. 1975)). CUP, ed. Transcendental Number Theory (en inglés). ISBN 978-0-521-39791-9.  (Teorema de Hermite-Lindemann en Google Libros)
• Fritsch, Rudolf (1989). «Transzendenz von e im Leistungskurs?». Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht (en alemán) 42: 75-80. Archivado desde el original el 16 de julio de 2011. Consultado el 9 de mayo de 2021. 

Enlaces externos

• Portal:Matemáticas. Contenido relacionado con Matemáticas.
• Demostración de la transcendencia de e y de π (en francés)
• «e is transcendental». PlanetMath (en inglés). 22 de marzo de 2013. Consultado el 14 de marzo de 2019.  (prueba de la trascendencia de e, acompañada de una referencia bibliográfica)
• «Proof of Lindemann-Weierstrass theorem and that e and π are transcendental». PlanetMath (en inglés). Archivado desde el original el 25 de octubre de 2015. Consultado el 9 de mayo de 2021.  (demostración de la trascendencia de e y π, luego del teorema de Lindemann–Weierstrass completo, tomado de Baker, 1990, p. 4-8 y detallado)
• Trascendencia de e y π para tontos (tesis de licenciatura 1er año bajo la dirección de Alain Prouté, Universidad de París VII Denis Diderot)

• Datos: Q3526988