Teorema de Darboux

El teorema de Darboux es un teorema sobre variedades simplécticas que afirma que todas las variedades simplécticas son localmente simplectomórficas. Eso significa, que para toda toda variedad de ese tipo de dimensión 2n existe un homeomorfismo con el espacio lineal simpléctico $(\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})$ dotado de la forma simpléctica canónica ω₀. Equivalentemente el teorema implica que en un entorno de cualquier punto puede definirse un conjunto de coordenadas canónicas.

El teorema fue probado por Jean Gaston Darboux que también probó un resultado análogo en geometría de contacto.

Enunciado del teorema

El enunciado preciso del problema es el siguiente:

Sea $({\mathcal {M}},\omega )$ una variedad simpléctica de dimensión 2n, donde con $\omega \,$ es la 2-forma simpléctica. Entonces para cada punto $P\in {\mathcal {M}}$ existe una carta local $(U_{P},\{p_{i},q_{i}\}_{i=1...n})\,$ que contiene a P tal que ω tiene la forma:

$\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}$

Enunciado más formalmente

Para cada punto de una variedad simpléctica existe una carta local $\phi :U_{P}\to \mathbb {R} ^{2n}$ tal que si $\omega \,$ es el pullback de la forma simpléctica canónica $\omega _{0}\,$ de $\mathbb {R} ^{2n}$ entonces:

$\omega =\phi ^{*}\omega _{0}\,$

La carta local U_P se llama carta local de Darboux alrededor de P. La variedad simpléctica $({\mathcal {M}},\omega )$ puede ser recubierta mediante un recubrimiento formado por cartas de Darboux. El conjunto de coordenadas de Darboux se llaman usualmente en mecánica hamiltoniana, coordenadas canónicas.

Comparación con la geometría riemanniana

Este resultado implica que no existen invariantes locales en geometría simpléctica. Siempre se puede escoger un sistema de coordenadas canónicas o coordenadas de Darboux, sea cual sea el punto, es decir, todos los puntos presentan cierta equivalencia. Esto contrata con la situación en geometría riemanniana donde por ejemplo la curvatura es un invariante local que permite distinguir unos puntos de otros. En una variedad riemanniana pueden escogerse siempre coordenadas que hagan que en un punto concreto la métrica sea idéntica a la euclídea, pero en general esto no es posible en todo un entorno del punto. En cambio en una variedad simpléctica las coordenadas que hacen de la forma simpléctica la canónica pueden extenderse a todo un entorno del punto.

Véase también

• variedad simpléctica, mecánica hamiltoniana.
• teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie, una generalización del teorema de Darboux.