Teorema de Clairaut

En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también conocido como teorema de Schwarz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son continuas, entonces son iguales.

Enunciado

Caso general

Sea :$f\colon A\subseteq {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}\,$, A un conjunto abierto, tal que existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en A. Entonces para cualquier punto $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in A,$ se cumple que: ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a_{1},\dots ,a_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).$

Enunciado del teorema en dos variables

Sea $f:\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$ una función de dos variables, definida en un conjunto abierto $\Omega$ del plano $\mathbb {R} ^{2}$. Si existen las segundas derivadas cruzadas y son continuas en $\Omega$ ($f\in {\mathcal {C}}^{2}(\Omega )$) estas son iguales, es decir: ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\equiv {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$.

Demostración

Sea

$p=(x_{0},y_{0})\in \Omega \,$.

Y sean $\varepsilon \,$ , $\delta >0\,$ reales tales que $(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )\times (y_{0}-\delta ,y_{0}+\delta )\subset \Omega \,$. Lo cual es posible, ya que $\Omega \,$ es un abierto de $\mathbb {R} ^{2}\,$.

Se definen dos funciones $F\,$ y $G\,$

$F:(-\varepsilon ,\varepsilon )\subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \,$,

$G:(-\delta ,\delta )\subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \,$,

de modo que:

$F(t)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0}+t,y_{0})\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )\,$.

$G(s)=f(x_{0}+t,y_{0}+s)-f(x_{0},y_{0}+s)\qquad \forall s\in (-\delta ,\delta )\,$,

Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:

$F(t)-F(0)=(t-0)F'(\xi _{1})=t\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+s)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0})\right]=$

$=ts{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0}+\xi _{1},y_{0}+\sigma _{1})\,$,

y análogamente:

$G(s)-G(0)=st{\frac {{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0}+\xi _{2},y_{0}+\sigma _{2})\,$,

con $\xi _{i}\in (0,t)\,$ , $\sigma _{i}\in (0,s)\,$, por comodidad de escritura pero sin perder generalidad, se suponen $t,s>0\,$.

Luego haciendo tender $t\,$ y $s\,$ a $0\,$ se logra la tesis.