Teorema de Beatty

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En matemática, el teorema de Beatty señala la condición necesaria y suficiente para que dos sucesiones pseudo-aritméticas sean una partición de \mathbb{N}^*. Fue publicado en 1926 por el matemático canadiense Samuel Beatty, profesor de la Universidad de Toronto.[1] Otra demostración de este teorema se publicó en 1927 por A.Ostrowski (Basilea) y A. C. Aitken (Chicago).[2] [3]

Enunciado[editar]

Afirma la relación de equivalencia de los dos puntos siguientes :

  • Los números p et q son positivos, irracionales y verifican \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1
  • Las dos secuencias de enteros P = (E(np))_{n \in \mathbb{N}^*} y Q = (E(nq))_{n \in \mathbb{N}^*} forman una partición del conjunto \mathbb{N}^*

en donde la función E designa la función parte entera. El resultado no es generalizable (engañosamente): no es posible hacer una partición de

\mathbb{N}^* con más de tres sucesiones pseudo-aritméticas.

Demostración
Sean p y q dos reales estrictamente positivos, tales que las sucesiones P y Q formen una partición de \mathbb{N}^*

El resultado se vuelve intuitivo si se introduce la densidad de una parte A de \mathbb{N}^*, es el límite - si existe - cuando n tiende a + \infty de \frac{\textrm{card}A \cap \{1, \dots, n\}}{n}. Por ejemplo, el conjunto de números pares (o el conjunto de números impares) tiene una densidad que es de 1/2, el conjunto de números primos tiene una densidad de 0.

Se ve fácilmente que los conjuntos \{E(n\alpha), n \in \mathbb{N}^*\} donde \alpha es un real positivo tienen densidad \frac{1}{\alpha}. Los soportes de las secuencias P y Q forman una partición de \mathbb{N}^*, luego la suma de sus densidades vale 1 :

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

Además, p y q no pueden ser racionales los dos, dado que si por caso p = \frac{a_1}{b_1}, q = \frac{a_2}{b_2}, entonces E(b_1 a_2 p) = E(b_2 a_1 q) (= a_1a_2). Las sucesiones P y Q no tienen ningún elemento en común. Una de las dos es irracional, por consiguiente las dos son irracionales (pues p^{-1} + q^{-1} = 1).

Recíprocamente, si p et q son irracionales y p^{-1} + q^{-1} = 1, se prueba por absurdo que los soportes de las sucesiones P y Q son disjuntas. Sea k un entero que se escribe bajo la forma k = E(np) = E(mq).

Por definición de parte entera, se tienen las inecuaciones siguientes :

k \leq np < k + 1 \mbox{  y  } k \leq mq < k + 1

Si se divide la primera inecuación por p, y la segunda por q :

\frac{k}{p} \leq n < \frac{k}{p} + \frac{1}{p} \mbox{  y  } \frac{k}{q} \leq m < \frac{k}{q} + \frac{1}{q}

Sumando las dos inecuaciones, se obtiene :

k \leq n + m < k + 1

k, n y m siendo enteros, esto imlica k = n + m; se sigue forzosamente la igualdad entre las dos inecuaciones precedentes. Entonces k = np y k = mq. Lo cual es absurdo dado que p y q son irracionales.

Ahora se demuestra que todo entero natural no nulo es alcanzado por una de las dos sucesiones. Sea n \geq 1 y k = E(np). k es alcanzado por la sucesión P, entonces no por la sucesión Q, existe un único entero m tal que :

E(mq) < k < E((m+1)q) .

De hecho, el entero E(mq) es el entero más grande de la sucesión Q inferior a k. Las aplicaciones r \mapsto E(rp) y r \mapsto E(rq) son inyectivas dado que p y q son mayores que 1. El intervalo \{1, \dots, k\} contiene entonces m + n elementos de sucesiones P y Q (dado que ambas sucesiones tienen soportes disjuntos). Para concluir, es suficiente con probar que k = n + m. Se tiene :

\frac{k}{p} \leq n < \frac{k + 1}{p} \mbox{  et  } \frac{k}{q} - 1 < m < \frac{k+1}{q}

Sumando, se sigue que k - 1 < n + m < k + 1, o bien k = n + m. QED.

Ejemplo[editar]

Uno de los primeros ejemplos conocidos descubierto en 1907 por el matemático holandés Wythoff, independiente del teorema de Beatty. Para \phi el número de oro, se tiene que :

\frac{1}{\phi} + \frac{1}{\phi^2} = 1 \,.

Las dos sucesiones obtenidas serán entonces :

  • E(n\phi), n>0 : 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... (sucesión A000201 en OEIS)
  • E(n\phi^2), n>0 : 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... (sucesión A001950 en OEIS)

Las parejas (E(n\phi), E(n\phi^2)) aparecen en la resolución del juego de Wythoff, y caracterizan las posiciones a partir de las cuales el jugador marcado no puede ganar.

Referencias[editar]

  1. Beatty, Samuel (1926). «Problem 3173». American Mathematical Monthly 33 (3):  pp. 159. doi:10.2307/2300153. 
  2. S. Beatty, A. Ostrowski, J. Hyslop, A. C. Aitken (1927). «Solutions to Problem 3173». American Mathematical Monthly 34 (3):  pp. 159–160. doi:10.2307/2298716. 
  3. Honsberger, Ross: "El ingenio en las matemáticas" (1994)Madrid,ISBN 85731-14-X, pp. 93,94,95

Bibliografía en francés[editar]

  • Exercices de mathématiques, oraux X-ENS. Algèbre 1. Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas. Éditions Cassini.

Véase también[editar]