Elemento supremo e ínfimo

Un conjunto A de números reales (representados por círculos azules), un conjunto de cotas superiores de A (círculos rojos), y el mínimo de las cotas superiores, el supremo de A(diamante rojo).

En matemáticas, dado un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado (P, <), el supremo de S, si existe, es el mínimo elemento de P que es mayor o igual a cada elemento de S. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de S. El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup(S).

Propiedades

• Si el supremo existe, entonces es único
• $\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$, si es que dichos supremos existen
• Un conjunto tiene máximo, si y solo si contiene a su supremo

Ejemplos

• En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido dentro del subconjunto.

• $\sup\{1,2,3\}=3\,$
• $\sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,$
• $\sup\{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,$
• $\sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \}=1\,$

Referencias

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
• Supremum (en PlanetMath.org)
• Weisstein, Eric W. «Supremum function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.