Sistema hamiltoniano integrable

Un sistema integrable es un caso particular de sistema hamiltoniano que cuya ecuaciones de movimiento puden ser resueltas para cualquier conjunto de condiciones iniciales mediante cuadraturas. Estos sistemas admiten un número suficiente de constantes de movimiento en involución. Liouville probó que un sistema con n grados de libertad es integrable si posee n constantes de movimiento en involución.

Definición de sistema integrable

Sea un sistema haimiltoniano definido sobre una variedad simpléctica ${\mathcal {P}}$ o, equivalentemente, sobre el espacio fásico del sistema. Se dice que una familia de funciones $F_{1},\dots ,F_{n}$ definidas sobre la variedad simpléctica M (o el espacio fásico) es independiente si las 1-formas $dF_{1},\dots ,dF_{n}$ son linealmente independientes en cualquier punto de M.

Un sistema hamiltoniano sobre M de dimensión 2n se dice integrable en el sentido de Liouville si su hamiltoniano admite n integrales de movimiento independienes en involución, es decir:

1. $\{H,F_{i}\}=0\,$ para $1\leq i\leq n$.
2. $\{F_{i},F_{j}\}=0\,$ para $1\leq i,j\leq n$.
3. $dF_{1}\land \dots \land dF_{n}\neq 0$.

donde $\{\cdot ,\cdot \}$ es el paréntesis de Poisson.

Ejemplos

Sistema que admite n variables ángulo-acción

Considerando las variables estándar ángulo-acción $(\theta ,I)\in \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\subset {\mathcal {P}}$ cualquier hamiltoniano de la forma $H=H(I)\,$ es integrable con las integrales:

$F_{i}=I_{i},\qquad 1\leq i\leq n\,$

que están en involución en cualquier punto y son independientes.

Oscilador armónico

Sea un oscilador armónico con n grados de libertad y sean las coordenadas canónicas $(q,p)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$, entonces cualquier hamiltoniano de la forma:

$H=H(q_{1}^{2}+p_{1}^{2},\dots ,q_{n}^{2}+p_{n}^{2})$

Es integrable siendo las integrales de movimiento en involución:

$F_{i}=q_{i}^{2}+p_{i}^{2},\qquad 1\leq i\leq n\,$

Integrabilidad y foliación

Geométricamente puede demostrarse que la definición de integrabilidad en el sentido de Liouville garantiza que existen n foliación tales que la intersección de ellas son precisamente las trayectorias del sistema en el espacio fásico.

Referencias

Bibliografía

• Kappeler, Thomas; Pöschel, Jürgen (2000). «II. Classical Bacground». KdV & KAM (en inglés). Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. pp. 27-34. ISBN 3-540-02234-1.