Preorden total

En Teoría del Orden, una relación binaria R se llama preorden total sobre un conjunto X si con las siguientes propiedades:

• (Reflexiva)

$\forall x \in X  : \quad xRx$

• (Transitiva)

$\forall x,y,z \in X  : \quad xRy \; \and \; yRz \quad \Rightarrow \quad xRz$

• (Total)

$\forall x,y \in X  : \quad xRy \; \or \; yRx$

Ejemplo

En Teoría de Elección Social podemos decir el orden de preferencias es un preorden total. Supongamos que tenemos cuatro candidatos a, b, c y d. Puede ocurrir que:

• a sea más preferido que b $(a \lesssim b)$
• a sea más preferido que c $(a \lesssim c)$
• b más preferido que d $(b \lesssim d)$
• c más preferido que d $(c \lesssim d)$
• b es incomparable con c $(b \lesssim c \or c \lesssim b)$

Es fácil verificar que $\lesssim$ es un preorden total.