Preorden total

En Teoría del Orden, una relación binaria R se llama preorden total sobre un conjunto X si con las siguientes propiedades:

• $\forall x,y \in X, xRy \or yRx$ (Total)
• $\forall x,y,z \in X$, si $xRy \and yRz \Rightarrow xRz$ (Transitiva)

• Así $\forall x \in X, xRx$ (Reflexiva)

Ejemplo

En Teoría de Elección Social podemos decir el orden de preferencias es un preorden total. Supongamos que tenemos cuatro candidatos a, b, c y d. Puede ocurrir que:

• a sea más preferido que b $(a \lesssim b)$
• a sea más preferido que c $(a \lesssim c)$
• b más preferido que d $(b \lesssim d)$
• c más preferido que d $(c \lesssim d)$
• b es incomparable con c $(b \lesssim c \or c \lesssim b)$

Es fácil verificar que $\lesssim$ es un preorden total.