Número metálico

En matemáticas los números metálicos son un conjunto de números que reciben nombres especiales relacionados con diferentes metales. Se obtienen a partir de la ecuación de segundo grado:​

(1)$x^{2}-px-q=0$

donde los parámetros p y q son números naturales.

Los números metálicos más conocidos son el número de oro (${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$), el número de plata ($1+{\sqrt {2}}$) y el número de bronce (${\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}$) que verifican la siguiente fracción continua:​

(2)$n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]$

con n igual a 1, 2 y 3 respectivamente.

Tabla 1

Valor aproximado de los Números metálicos​

Nombre	p	q	Valor
Oro	1	1	1,618033989...
Plata	2	1	2,414213562...
Bronce	3	1	3,302775638...
Cobre	1	2	2.000000000...
Níquel	1	3	2,302775638...
Platino	2	2	2,732050808...

Historia

Los más conocidos, se han utilizado desde los albores de la aritmética; los más populares, por ejemplo el número áureo, han sido estudiados de manera exhaustiva. Corresponde el mérito de la sistematización, estudio y divulgación de estos números a la matemática argentina Vera de Spinadel (1929-2017).

Denominación y generación

Los números metálicos pueden ser generados por tres diferentes métodos:

Ecuación cuadrática

La solución general de la ecuación de segundo grado se expresa por:

X = 0,5 * (p + [p² + 4 * q]^0,5)

que para el rango inferior de los parámetros p y q proporciona los valores que se muestran en la Tabla 1.

Fracción continua

La ecuación general puede ser reordenada en la forma:

X = p + q / X

Sustituyendo la expresión de la variable en el denominador:

X = p + q / (p + q / X)

operación que puede continuarse hasta el infinito, resultando la expresión general de la fracción continua

Límite de serie

Se denomina sucesión de Fibonacci secundaria a la serie infinita construida según el siguiente criterio:

G(n+2) = G(n+1) + G(n)

El límite en el infinito de la razón entre dos términos consecutivos:

G(n) / G(n - 1)

es, precisamente, el número de oro.

Generalizando el anterior resultado se ha denominado "sucesión de Fibonacci secundaria generalizada" a la formada según la recurrencia:

G(n+2) = p * G(n+1) + q * G(n)

cuyos límites entre dos términos consecutivos tienden a los correspondientes "números metálicos" con idénticos valores de p y q

Bibliografía

• Corbalán, Fernando (2010). La proporción áurea: el lenguaje matemático de la belleza y el arte. RBA Coleccionables. ISBN 978-84-473-6623-1. OCLC 804768186. 

Enlaces externos

• La familia de números metálicos (Vera W. de Spinadel) (pdf)

• Datos: Q11634820
• Multimedia: Metallic means / Q11634820