Media ponderada

La media ponderada es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso) respecto de los demás datos. Se obtiene multiplicando cada uno de los datos por su ponderación (peso) para luego sumarlos, obteniendo así una suma ponderada; después se divide esta entre la suma de los pesos, dando como resultado la media ponderada.​

Definición matemática

Para una serie de datos numéricos no vacía:

$X=\{x_{1},x_{2},x_{3}...,x_{n}\}\,$

a la que corresponden los pesos:

$W=\{w_{1},w_{2},w_{3},...,w_{n}\}\,$

la media ponderada se calcula de la siguiente manera:

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {x_{1}w_{1}+x_{2}w_{2}+x_{3}w_{3}+...+x_{n}w_{n}}{w_{1}+w_{2}+w_{3}+...+w_{n}}}$

Si los pesos son iguales, esto es, $w_{i}=w$ para $1\leq i\leq n$, entonces la media ponderada coincide con la media aritmética.​

Ejemplo

Se puede usar una media ponderada para calcular la nota final de un curso escolar, en donde se asigna distinta importancia (peso) a los distintos exámenes que se realicen. Por ejemplo, los dos primeros exámenes tienen un peso o valor de 30% y 20% respectivamente, y el último del 50%; las calificaciones respectivas son de 6.4, 9.2 y 8.1, entonces la nota final corresponde a la siguiente media ponderada:

Datos: $X=\{6.4,9.2,8.1\}\,$

Pesos: $W=\{0.3,0.2,0.5\}\,$

Media Ponderada: ${\bar {x}}={\frac {6.4\cdot 0.3+9.2\cdot 0.2+8.1\cdot 0.5}{0.3+0.2+0.5}}=7.81\,$

Pesos normalizados

Para cada peso $w_{i}$ del dato $x_{i}$ se define su peso normalizado como

$w'_{i}={\frac {w_{i}}{\sum _{k=1}^{n}w_{k}}}$

Se tiene que la suma de los pesos normalizados es 1 y, por tanto, la media ponderada (con los pesos $w_{i}$) es ​

${\bar {x}}=\sum _{k=1}^{n}x_{i}\cdot w'_{i}$

Métrica definida por los pesos

Con la métrica que definen los pesos, la media ponderada se comporta geométricamente igual que sin ponderar, quedando definida por el pie de la perpendicular desde x a la recta <(1, 1, ... , 1)>. La perpendicular desde x a la recta <(1, 1, ... , 1)> cae en $({\bar {x}},{\bar {x}},...,{\bar {x}})$.

La fórmula siguiente es válida para la media con o sin ponderación, la diferencia es la métrica considerada.

${\bar {x}}={\frac {x\cdot (1,1,...,1)}{(1,1,...,1)\cdot (1,1,...,1)}}$

Analogía

Si se consideran $n$ puntos diferentes en el plano, con sus respectivas masas, es posible hallar un punto, llamado baricentro, que representa la masa promedio.

Véase también

• Media
• Media aritmética (promedio)
• Media geométrica

Enlaces externos

• David Terr. «Media ponderada». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Calculadora de la media ponderada (matesfacil.com)

• Datos: Q729113