Matriz definida positiva

En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.

Definiciones equivalentes

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en adelante denotaremos la transpuesta de una matriz o vector $a$ como $a^{T}$, y el conjugado transpuesto, $a^{*}$. Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes:

1.	Para todos los vectores no nulos $z \in \mathbb{C}^n$ tenemos que $\textbf{z}^{*} M \textbf{z} > 0$. Nótese que $z^{*} M z$ es siempre real.
2.	Todos los autovalores $\lambda_i$ de $M$ son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, simétrica, son reales.)
3.	La función $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ define un producto interno $\mathbb{C}^n$.
4.	Todos los determinantes de los menores principales de $M$ son positivos. O lo que es equivalente; todas las siguientes matrices tienen determinantes positivo. la superior izquierda de M de dimensión 1x1 la superior izquierda de M de dimensión 2x2 la superior izquierda de M de dimensión 3x3 ... la superior izquierda de M de dimensión (n-1)x(n-1) $M$ en sí misma
	Para matrices semidefinidas positivas, todos los menores principales tienen que ser no negativos (Criterio de Silvestre o Sylvester).

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza $\mathbb{C}^n$ por $\mathbb{R}^n$, y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

Propiedades

• Toda matriz definida positiva es invertible (su determinante es positivo), y su inversa es definida positiva.

• Si $M$ es una matriz definida positiva y $r > 0$ es un número real, entonces $rM$ es definida positiva.

• Si $M$ y $N$ son matrices definidas positivas, entonces la suma $M + N$ también lo es. Además si

$M N = N M$, entonces $MN$ es también definida positiva.

• Toda matriz definida positiva $M$, tiene al menos una matriz raíz cuadrada $N$ tal que $N^2 = M$.

Matrices definidas negativas, semidefinidas positivas e indefinidas

La matriz hermitiana $M$ se dice:

• definida negativa si $x^{*} M x < 0\,$ para todos los vectores $x \in \mathbb{R}^n$ (ó $\mathbb{C}^n$) no nulos

• semidefinida positiva si $x^{*} M x \geq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}^n$ (ó $\mathbb{C}^n$)

• semidefinida negativa si $x^{*} M x \leq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}^n$ (ó $\mathbb{C}^n$)

Una matriz hermitiana se dice indefinida si no entra en ninguna de las clasificaciones anteriores.

Caso no hermitiano

Una matriz real M puede tener la propiedad x^TMx > 0 para todo vector real no nulo sin ser simétrica. La matriz

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

es un ejemplo. En general, tendremos x^TMx > 0 para todo vector real no nulo x si y sólo si la matriz simétrica (M + M^T) / 2, es definida positiva.