Integral exponencial

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Gráfica de la función E1 (arriba) y de la función Ei (parte inferior).

En el ámbito de las matemáticas la integral exponencial es una función especial definida en el plano complejo e identificada con el símbolo  Ei.

Definiciones[editar]

Para valores reales de  x, la integral exponencial Ei(x) se define como

 \mbox{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x\frac{e^t}t\,\mathrm dt.\,

Esta definición puede ser utilizada para valores positivos de  x, pero a causa de la singularidad del integrando en cero, la integral debe ser interpretada en término del valor principal de Cauchy. Para valores complejos del argumento, esta definición es ambigua a causa de los puntos de ramificación en 0 y en \infty.[1] En general, se realiza un corte en el eje real negativo y Ei puede ser definida mediante una continuación analítica en el resto del plano complejo.

Se utiliza la siguiente notación,[2]

\mathrm{E}_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,\mathrm dt,\qquad|{\rm Arg}(z)|<\pi

Para valores positivos de la parte real de z, esto se puede expresar como[3]

\mathrm{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{e^{-tz}}{t}\,\mathrm dt,\qquad \Re(z) \ge 0.

El comportamiento de E1 cerca del branch cut puede ser analizado mediante la siguiente relación:[4]

\lim_{\delta\to0\pm}\mathrm{E_1}(-x+i\delta) = -\mathrm{Ei}(x) \mp i\pi,\qquad x>0,

Propiedades[editar]

Las propiedades de la exponencial integral mostradas, en ocasiones, permiten sortear él la evaluación explícita de la función a partir de la definición dada arriba.

Series Convergentes[editar]

Tras integrar la serie de Taylor de e^{-t}/t, y extraer la singularidad logarítmica, se puede obtener la siguiente representación en forma de serie de \mathrm{E_1}(x) para x real:[5]

\mathrm{Ei}(x) = \gamma+\ln x+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k\; k!} \qquad x>0

Para argumentos complejos fuera del eje real, esta serie se generaliza a[6]

\mathrm{E_1}(z) =-\gamma-\ln z+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1} z^k}{k\; k!} \qquad (|\mathrm{Arg}(z)| < \pi)

donde \gamma es la constante de Euler-Mascheroni. La suma converge para todo z complejo, y tomamos el valor usual del logaritmo complejo con el corte de rama a lo largo del eje real negativo.


Series Asintóticas[editar]

Error relativo de la aproximación asintótica para diferente numero ~N~ de términos de la suma truncada

Por desgracia, la convergencia de las series mostradas arriba es muy lenta para argumentos con gran módulo. Por ejemplo, para x=10, se necesitan más de 40 términos para obtener una respuesta correcta con 3 cifras significativas.[7] Sin embargo, existe una serie asintótica divergente que puede ser obtenida a partir de la integración de ze^z\mathrm{E_1}(z) por partes:[8]


\mathrm{E_1}(z)=\frac{\exp(-z)}{z}\sum_{n=0}^{N-1} \frac{n!}{(-z)^n}

cuyo error es del orden O(N!z^{-N}) y es válida para grandes valores de \mathrm{Re}(z). El error relativo de la serie asintótica se muestra en la gráfica de la derecha para varios valores de N (N=1 en rojo, N=5 en rosa). Cuando x>40, la aproximación dada con N=40 es exacta en representación de doble precisión, de 64 bits.

Comportamiento exponencial y logarítmico: Cotas[editar]

Acotamiento de \mathrm{E_1} por funciones elementales

De las series dadas arriba, se deduce que \mathrm{E_1} se comporta como una exponencial negativa para grandes valores del argumento y como un logaritmo para pequeños valores del mismo. Para valores reales positivos del argumento, \mathrm{E_1} queda acotada superior e inferiormente por funciones elementales como sigue:[9]


\frac{1}{2}e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac{2}{x} \right)
< \mathrm{E_1}(x) <
e^{-x}\,\ln\!\left( 1+\frac{1}{x} \right)
\qquad x>0

La parte izquierda de la desigualdad se muestra en la gráfica de la izquierda en azul, la parte central, que es \mathrm{E_1}(x), es la curva negra y la parte de la derecha es la curva roja.


Definición mediante \mathrm{Ein}[editar]

Las funciones \mathrm{Ei} y \mathrm{E_1} pueden ser escritas de forma más simple mediante la función entera \mathrm{Ein}[10] definida como


\mathrm{Ein}(z)
= \int_0^z (1-e^{-t})\,\frac{\mathrm dt}{t}
= \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}z^k}{k\; k!}

(nótese que esta es la serie alternante que aparecía en la definición de \mathrm{E_1}). Se sigue inmediatamente que:


\mathrm{E_1}(z) \,=\, -\gamma-\ln z + {\rm Ein}(z)
\qquad |\mathrm{Arg}(z)| < \pi
\mathrm{Ei}(x) \,=\, \gamma+\ln x - \mathrm{Ein}(-x)
\qquad x>0

Relación con otras funciones[editar]

La integral exponencial está altamente relacionada con la función logaritmo integral li(x) por la siguiente relación


\mathrm{li}(x) = \mathrm{Ei}(\ln x)\,

para valores positivos reales de x.

La integral exponencial se puede generalizar a

{\rm E}_n(x) = \int_1^\infty \frac{e^{-xt}}{t^n}\,\mathrm dt,

que es una familia de funciones que puede representarse como un caso especial de la función gamma incompleta:[11]

{\rm E}_n(x) =x^{n-1}\Gamma(1-n,x).\,

Esta forma generizada se llama a veces función de Misra function[12] \varphi_m(x), que se define como

\varphi_m(x)={\rm E}_{-m}(x).\,

Derivadas[editar]

Las derivadas de las funciones \mathrm{E_n} pueden ser obtenerse mediante el uso de la fórmula[13]


\mathrm{E_n}'(z) = -\mathrm{E_{n-1}}(z)
\qquad (n=1,2,3,\ldots)

Nótese que la función \mathrm{E_0} es sencilla de evaluar (dando un término inicial a la relación recursiva), pues es e^{-z}/z.[14]

Integral Exponencial de argumento imaginario[editar]

\mathrm{E_1}(ix) respecto a x; parte real en negro, parte imaginaria en rojo.

Si z es imaginario, la función tiene una parte real no nula, así podemos usar la fórmula


\mathrm{E_1}(z) = \int_1^\infty
\frac{e^{-tz}}{t}\,\mathrm dt

para obtener una relación de la exponencial integral con las integrales trigonométricas \mathrm{Si} y \mathrm{Ci}:


\mathrm{E_1}(ix) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \mathrm{Si}(x)\right) - \mathrm{Ci}(x)
\qquad (x>0)

Las partes real e imaginaria de \mathrm{E_1}(x) están dibujadas en la gráfica de la derecha en negro y rojo respectivamente.

Aplicaciones[editar]

  • Transmisión de calor con dependencia temporal
  • Flujo de aguas subterraneas fuera del equilibrio en la solución de Theis
  • Transferencia radiativa en atmósferas estelares
  • Ecuación de difusividad radial para flujos transitorios o de flujo no estacionario entre fuentes y sumideros con forma de línea recta.

Notas[editar]

  1. Abramowitz and Stegun, p.228
  2. Abramowitz and Stegun, p.228, 5.1.1
  3. Abramowitz and Stegun, p.228, 5.1.4 con n = 1
  4. Abramowitz and Stegun, p.228, 5.1.7
  5. Para una demostración, véase Bender y Orszag, p253
  6. Abramowitz y Stegun, p.229, 5.1.11
  7. Bleistein y Handelsman, p.2
  8. Bleistein y Handelsman, p.3
  9. Abramowitz y Stegun, p.229, 5.1.20
  10. Abramowitz y Stegun, p.228, véase la nota 3.
  11. Abramowitz y Stegun, p.230, 5.1.45
  12. After Misra (1940), p.178
  13. Abramowitz and Stegun, p.230, 5.1.26
  14. Abramowitz and Stegun, p.229, 5.1.24

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]