Integral de Borwein

En matemáticas, una integral de Borwein es una integral con unas propiedades peculiares presentada por primera vez por los matemáticos David Borwein y Jonathan Borwein en 2001.^[1] Las integrales de Borwein utilizan productos de senos cardinales sinc(ax), donde la función seno cardinal se define como sinc(x) = sen(x)/x para x distinto de 0, y sinc(0) = 1.^[1]^[2]

Estas integrales presentan un aparente esquema regular que acaba rompiéndose de repente. Así,

{\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}{\frac {\operatorname {sen}(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}

Este esquema continúa hasta

\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.

Sin embargo, con el siguiente término, se produce el siguiente resultado:

{\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}

En general, estas integrales tienen por valor $π$ /2 cuando los denominadores 3, 5, 7… son sustituidos por cualesquier números reales positivos tales que la suma de sus inversos es menor que 1.

En el ejemplo anterior, 1/3 + 1/5 + … + 1/13 < 1, pero 1/3 + 1/5 + … + 1/15 > 1.

Al incluir el término adicional $\cos(x)$ , el esquema se puede prolongar más allá:

\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/111)}{x/111}}\,dx={\frac {\pi }{2}},

pero

\int _{0}^{\infty }2\cos(x){\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}{\frac {\operatorname {sen}(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\operatorname {sen}(x/111)}{x/111}}{\frac {\operatorname {sen}(x/113)}{x/113}}\,dx<{\frac {\pi }{2}},

En este caso, 1/3 + 1/5 + … + 1/111 < 2, but 1/3 + 1/5 + … + 1/113 > 2.

El motivo por el que estos esquemas, tanto el original como el extendido, se acaban rompiendo se ha podido probar mediante una demostración intuitiva.^[3]

Fórmula general

Dada una sucesión de números reales distintos de 0, $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ , se puede construir una fórmula general para la integral^[1]

\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\operatorname {sen}(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx

Para establecer la fórmula, habrá que considerar las sumas a partir de los $a_{k}$ . En particular, si $\gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}$ es una $n$ -upla donde cada uno de los términos es $\pm 1$ , entonces se puede escribir $b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}$ , que es una especie de suma alterna de los $a_{k}$ , y se puede establecer $\varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}$ , que puede ser 1 o -1. Con esta notación, el valor de esta integral es

\int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\operatorname {sen}(a_{k}x)}{a_{k}x}}\,dx={\frac {\pi }{2a_{0}}}C_{n}

donde

C_{n}={\frac {1}{2^{n}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn}(b_{\gamma })

En el caso en que $a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$ , se tiene $C_{n}=1$ .

Además, si hay un $n$ tal que para cada $k=0,\ldots ,n-1$ tenemos $0<a_{n}<2a_{k}$ y $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$ , que significa que $n$ es el primer valor cuando la suma parcial de los $n$ primeros elementos de la sucesión excede de $a_{0}$ , entonces $C_{k}=1$ para cada $k=0,\ldots ,n-1$ , pero

C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}

El primer ejemplo es el caso cuando $a_{k}={\frac {1}{2k+1}}$ .

Nótese que, si $n=7$ , entonces $a_{7}={\frac {1}{15}}$ and ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955$ , pero ${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02$ , por lo que, como $a_{0}=1$ , tenemos que