Fórmula de Abel-Plana

En matemáticas, la Fórmula de Abel-Plana es una fórmula descubierta independiente por Abel (1823) y Plana (1820) en la que se expresa resultado de una serie en función de ciertas integrales. En concreto:

$\sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+{\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{e^{2\pi y}-1}}\,dy.$

Esta fórmula es válida para funciones $f(z)$ que sean holomorfas en la región ${\text{Re}}(z)\geq 0$ del plano complejo que satisfagan una condición de crecimiento adecuado en esta región. Por ejemplo, es condición suficiente asumir que $|f(z)|$ está acotada por $C/|z|^{1+\epsilon }$ en esta región para alguna constante $C>0$, aunque la fómrula sigue siendo válida para cotas mucho menos estrictas. (Olver, 1997, p.290).

Por ejemplo, se puede expresar a la función zeta de Hurwitz como

$\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left({\frac {y}{\alpha }}\right)\right)}{(y^{2}+\alpha ^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},$

fórmula válida $\forall s\in \mathbb {C}$. En el caso particular $\alpha =1$ tenemos la función zeta de Riemann, que se puede escribir como

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan \left(y\right)\right)}{(y^{2}+1)^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dy}{e^{2\pi y}-1}},$

fórmula también válida $\forall s\in \mathbb {C}$. Abel también desarrolló la siguiente fórmula para series alternantes:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{2\sinh(\pi y)}}\,dt.$

Véase también

• Fórmula de Euler-Maclaurin
• Principio del argumento
• Función zeta de Riemann

Referencias

• Abel, N.H. (1823), Solution de quelques problèmes à l’aide d’intégrales définies .
• Butzer, P. L.; Ferreira, P. J. S. G.; Schmeisser, G.; Stens, R. L. (2011), «The summation formulae of Euler-Maclaurin, Abel-Plana, Poisson, and their interconnections with the approximate sampling formula of signal analysis», Results in Mathematics 59 (3): 359-400, ISSN 1422-6383, doi:10.1007/s00025-010-0083-8, MR 2793463 .
• Olver, Frank W. J. (1997) [1974], Asymptotics and special functions, AKP Classics, Wellesley, MA: A K Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-069-0, MR 1429619 .
• Plana, G.A.A. (1820), «Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites», Mem. Accad. Sci. Torino 25: 403-418 .

Enlaces externos

• Anderson, David. «Abel-Plana Formula». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.