Función contador de números primos

En matemática, la función contador de números primos es una función que cuenta el número de números primos menores o iguales a cierto número real x. Se denota mediante $\scriptstyle \pi (x)$ (no debe confundirse con el número π) y analíticamente se define como:

$\pi (x)=\#\{p\in \mathbb {P} \mid p\leq x\}$

donde # significa la cantidad de números que cumplen la condición. Algunos valores son:

π(1) = 0 (no hay primos ≤ 1)

π(2) = 1 (único primo ≤ 2: 2)

π(3) = 2 (primos ≤ 3: 2 y 3)

π(4) = 2 (id.)

π(5) = 3 (primos ≤ 5: 2, 3 y 5)

...

π(10) = 4 (primos ≤ 10: 2, 3, 5 y 7)

...

Teorema de los números primos

Artículo principal: Teorema de los números primos

Una de las consecuencias más importantes de la teoría de números es que el valor de π(x) se aproxima al de x/ln x cuando x tiende al infinito. Es decir:

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$

Esto no significa que la diferencia entre π(x) y x/ln x se aproxime a cero, sino que su cociente se aproxima a 1. Este resultado, aventurado por primera vez por Carl Friedrich Gauss, se denomina teorema de los números primos. Tras muchos intentos fallidos de demostración, los matemáticos Jacques Hadamard y Charles de la Vallée-Poussin consiguieron, de forma independiente, una demostración definitiva.

Si se expresa la relación anterior cómo

${\frac {\pi (x)}{x}}\sim {\frac {1}{\ln x}}$

se puede interpretar como que la densidad media de números primos entre los números enteros se aproxima a 1/lnx a medida que x aumenta.

25 años después de que Gauss descubriera la aproximación Legendre lo mejoró aún más:

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x-1.08366}}$

Referencias

Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). «8.8». Algorithmic Number Theory 1. Ed. MIT Press. p. 234. ISBN 0-262-02405-5.
Weisstein, Eric W. «Prime Counting Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.