Función circular

En topología y en particular en el cálculo y aritmética cual significado sirve por referir tal, una función circular matemática de dos sentidos en una variedad diferenciable $M$, es una función escalar $M\to {\mathbb {R} }$ cuyos puntos críticos son un enlace, es decir, una unión disjunta de componentes conexos, cada uno siendo homeomorfos al círculo $S^{1}$.

Por ejemplo, sea $M$ el toro. Sea $K=]0,2\pi [\times ]0,2\pi [$ entonces el mapeo $X\colon K\to {\mathbb {R} }^{3}$ dado por

$X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,$

es una parametrización para casi todo el toro. Mediante la proyección $\pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }$ obtenemos $G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} }$ cuyos puntos críticos están determinados por

$\nabla G(\theta ,\phi )=({\partial G \over \partial \theta },{\partial G \over \partial \phi })(\theta ,\phi )=(0,0)\,$

si y sólo si $\theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}$

El círculo negro es uno de estos conjuntos críticos.

Estos dos valores para $\theta$ dan los conjuntos críticos

$X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,$

$X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,$

que representan dos círculos extremos para el toro.

Observe que el Hessiano para esta función es

${\rm {Hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}$

el cual se revela a sí mismo de ${\rm {rankHess}}(G)=1$ en los círculos de arriba, determinando que los puntos críticos sean degenerados, esto es, mostrando que los puntos críticos no están aislados.

Referencias

• Siersma and Khimshiasvili, On minimal round functions, [1] Preprint 1118, Department of Mathematics, Utrecht University, 1999, pp. 18.

• Datos: Q7371197