Función psi de Dedekind

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En teoría de números, la función psi de Dedekind es la función multiplicativa sobre los enteros positivos definida por

 \psi(n) = n \prod_{p|n}\left(1+\frac{1}{p}\right),

donde el producto es tomado sobre todos los números primos p que dividen a n (por convención, ψ(1) es el producto vacío y tiene el valor 1). La función fue introducida por Richard Dedekind en conexión con las funciones modulares.

El valor de ψ(n) para los primeros enteros n es:

1, 3, 4, 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24 ... (sucesión A001615 en OEIS).

ψ(n) es mayor que n para todo n mayor que 1, y es par para todo n mayor que 2. Si n es un Entero libre de cuadrados entonces ψ(n) = σ(n).

La función ψ puede también ser definida mediante la propiedad ψ(pn) = (p+1)pn-1 para potencias de cualquier primo p, y luego extender la definición a todos los enteros por multiplicabilidad. Esto también permite una demostración de la función generadora en términos de la función zeta de Riemann, que es

\sum \frac{\psi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-1)}{\zeta(2s)}.

Esto también es una consecuencia del hecho de que se puede escribir como una convolución de Dirichlet \psi= n * \epsilon_2 , donde \epsilon_2 es la función característica de los cuadrados.

Grandes órdenes[editar]

La generalización a grandes órdenes usando ratios de indicatrices de Jordan es

\psi_k(n)=\frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)}

donde la serie de Dirichlet

\sum_{n\ge 1}\frac{\psi_k(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s)\zeta(s-k)}{\zeta(2s)}.

Es también la convolución de Dirichlet de una potencia y el cuadrado de la función de Möbius,

\psi_k(n) = n^k * \mu^2(n).

Si

\epsilon_2 = 1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0\ldots

es la función característica de los cuadrados, otra convolución de Dirichlet permite la generalización de la función σ,

\epsilon_2(n) * \psi_k(n) = \sigma_k(n).

Referencias[editar]

  • Goro Shimura (1971). Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions (en inglés). Princeton.  (page 25, equation (1))
  • Carella, N. A. (2010). «Squarefree Integers And Extreme Values Of Some Arithmetic Functions» (en inglés). arXiv:1012.4817

. 

  • Mathar, Richard J. (2011). «Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions» (en inglés). arXiv:1106.4038

.  Section 3.13.2

Enlaces externos[editar]