Función indicatriz de Jordan

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En teoría de números, la función indicatriz de Jordan J_k(n) de un entero positivo n es el número de k-tuplas de enteros positivos todos menores o iguales a n que forman una (k + 1)-tupla coprima junto con n. Esta es una generalización de la función φ de Euler, que es J1. La función se llaman en honor de Camille Jordan.

Definición[editar]

La función indicatriz de Jordan es una función multiplicativa y puede ser evaluada como

J_k(n)=n^k \prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p^k}\right) .\,

Propiedades[editar]

  • \sum_{d | n } J_k(d) = n^k. \,

La cual puede ser escrita en el lenguaje de convoluciones de Dirichlet como

J_k(n) \star 1 = n^k\,

y utilizando inversión de Möbius como

J_k(n) = \mu(n) \star n^k.

Puesto que la función generadora de Dirichlet de μ es 1/ζ(s) y la función generadora de nk es ζ(s-k), las series para Jk se convierten en

\sum_{n\ge 1}\frac{J_k(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)}.
\psi(n) = \frac{J_2(n)}{J_1(n)},

y mediante inspección de la definición (reconociendo que cada factor en el producto sobre los números primos es un polinomio ciclotómico de p-k), las funciones aritméticas definidas mediante \frac{J_k(n)}{J_1(n)} o \frac{J_{2k}(n)}{J_k(n)} pueden mostrarse que son funciones multiplicativas evaluadas en los números enteros.

Orden del grupo de matrices[editar]

El grupo general lineal de matrices de orden m sobre Zn tienen orden[2]


|\operatorname{GL}(m,\mathbf{Z}_n)|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=1}^m J_k(n).

El grupo especial lineal de matrices de orden m sobre Zn tiene orden


|\operatorname{SL}(m,\mathbf{Z}_n)|=n^{\frac{m(m-1)}{2}}\prod_{k=2}^m J_k(n).

El grupo simpléctico de matrices de orden m sobre Zn tiene orden


|\operatorname{Sp}(2m,\mathbf{Z}_n)|=n^{m^2}\prod_{k=1}^m J_{2k}(n).

Las dos primeras fórmulas fueron descubiertas por Jordan.

Ejemplos[editar]

Listas explícitas en OEIS son J2 en A007434, J3 en A059376, J4 en A059377, J5 en A059378, J6 hasta J10 en A069091 hasta A069095.


Funciones multiplicativas definidas por sus relaciones son J2(n)/J1(n) in A001615, J3(n)/J1(n) in A160889, J4(n)/J1(n) in A160891, J5(n)/J1(n) in A160893, J6(n)/J1(n) in A160895, J7(n)/J1(n) in A160897, J8(n)/J1(n) in A160908, J9(n)/J1(n) in A160953, J10(n)/J1(n) in A160957, J11(n)/J1(n) in A160960.


Ejemplos de relaciones J2k(n)/Jk(n) son J4(n)/J2(n) en A065958, J6(n)/J3(n) en A065959, y J8(n)/J4(n) en A065960.

Notas[editar]

  1. Holden et al en enlaces externos. La fórmula es de Gegenbauer.
  2. Todas estas fórmulas provienen de Andrici y Priticari en #Enlaces externos.

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]