Fracción parcial

El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.

Características

Para mayor claridad, sea:

$\frac{A(x)}{B(x)}= \frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0}$

en donde: $m<n \,$. Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe expresar la función $B(x) \,$ de la forma:

$B(x)= (x+a_n)(x+a_{n-1})...(x+a_1)(x+a_0) \,$

o

$B(x)= (a_nx^2+b_nx+c_n)(a_{n-1}x^2+b_{n-1}x+c_{n-1})...(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_0x^2+b_0x+c_0) \,$

es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.

Casos

Se distinguen 4 casos:

Factores lineales distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.

$\frac{A_1}{(x+a_1)} + \frac{A_2}{(x+a_2)} + ... + \frac{A_n}{(x+a_n)}$

Donde $(A_1, A_2, ..., A_n) \,$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores lineales repetidos

Donde los pares de factores son idénticos.

$\frac{A_1}{(x+a_1)} + \frac{A_2}{(x+a_1)^2} + ... + \frac{A_n}{(x+a_1)^n}$

Donde $(A_1, A_2, ..., A_n) \,$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos distintos

Donde ningún par de factores es idéntico.

$\frac{A_1 x +B_1}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)} + \frac{A_2 x +B_2}{(a_2 x^2+b_2 x+c_2)} + ... + \frac{A_n x +B_n}{(a_n x^2+b_n x+c_n)}$

Donde $(A_1x+B_1, A_2x+B_2, ..., A_nx+B_n) \,$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.

Factores cuadráticos repetidos

$\frac{A_1 x +B_1}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)} + \frac{A_2 x +B_2}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)^2} + ... + \frac{A_n x +B_n}{(a_1 x^2+b_1 x+c_1)^n}$

Donde $(A_1x+B_1, A_2x+B_2, ..., A_nx+B_n) \,$ son constantes a determinar, y ningún denominador se anula..

Observación: Es posible construir ejemplos que combinan los cuatro casos anteriores.

Cómputo de las constantes

Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:

$A_k = \left[\frac{A(x)}{B(x)}(x+a_k)\right]_{x=-a_k}$

en donde $k = (1, 2, ..., n) \,$

Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una de las $A_k \,$, la resolución del sistema proporciona los valores de los $A_k \,$.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Descomposición de fracción parcial» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.