Potencia de un punto

Archivo:Pointpowertocircle.svg

La potencia de un punto respecto de una circunferencia es el producto de las distancias de dicho punto a los puntos que una secante determina con la circunferencia.

Este producto no depende de la elección de la secante que se elija para determinar la potencia en cuestión.

En efecto, consideremos la potencia del punto P respecto de la circunferencia s (véase la figura). Los triángulos ADP y CBP son semejantes. De la razón de los segmentos

{\frac {PA}{PC}}={\frac {PD}{PB}},

se sigue

PA\cdot PB=PC\cdot PD.

Si el punto es interior a la circunferencia (Q en la figura), entonces los triángulos a considerar son QAB y QCD. De la semejanza de estos triángulos se sigue que

QA\cdot QD=QC\cdot QB.

En este caso se considera que los productos son negativos, puesto que Q separa a los puntos A y D y a los puntos B y C.

Finalmente, si el segmento PC es tangente a la circunferencia, los triángulos PCA y PBC son semejantes. De aquí que

{\frac {PC}{PA}}={\frac {PB}{PC}}

y por tanto,

PC^{2}=PA\cdot PB.

Se dice que el segmento PC es la media geométrica de los segmentos PA y PB.

Media geométrica y media aritmética

Dados los segmentos $a$ y $b$ , se puede construir su media geométrica de manera muy sencilla. Se puede disponer dichos segmentos sobre una recta de modo que uno de sus extemos concidan en un punto O (véase la figura) y que los otros extremos queden a distinto lado respecto del punto O. Se traza la circunferencia $s$ de radio $a+b$ y la perpendicular al diámetro por el punto $O$ . Si $P$ es una de las intersecciones de esta perpendicular con la cirunferencia $s$ ,se sigue, de la discusón anterior, que el segmento $OP$ es media geométrica de los segmentos $a$ y $b$ .

En la figura, $m$ representa la media aritmética de los segmentos $a$ y $b$ . De esta forma queda clara relación de desigualdad entre ambas medias:

{\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {a\,b}}.

Aplicación

Dados dos puntos y una recta, hallar las circunferencias que pasan por dichos puntos y son tangentes a la recta dada.

Consideremos el caso en que los puntos dados $A$ y $B$ (véase la figura) son exteriores a la recta dada $r$ y se hallan de un mismo lado respecto de dicha recta.

Tracemos la recta $BA$ y sea $P$ su intersecciión con la recta $r$ . Sea $M$ el punto de contacto de una de las circunferencias buscadas ( $b1$ en el dibujo) y la recta $r$ . Observamos que el segmento $PM$ es media geométrica de los segmentos $PA$ y $PB$ . Para hallar dicha media, podemos trazar cualquier circunferencia que pase por los puntos $A$ y $B$ . Sea $T$ el punto de contacto de la tangente por el punto $P$ a dicha circunferencia. El segmento $PT$ es la media geométrica que buscamos. Los puntos $M$ y $N$ quedan así determinados y el problema ha sido resuelto. (Los centros de las circunferencias buscadas se hallan sobre la mediatriz del segmento $AB$ y sobre las perpendiculares a la recta $r$ por los puntos $M$ y $N$ ).

Si la recta AB es paralela a la recta r, la discusión de arriba no aplica, sin embargo, encontrar la única soluión en este caso es mucho más fácil.

Si uno de los puntos dados, se halla sobre sobre la recta $r$ , el problema tiene una sola solución. Si los puntos son externos a la recta y se hallan a distinto lado de la recta dada, el problema no tiene solución.

Véase también

Referencias

Adam, Puig (1988). Euler(Madrid), ed. Geometría Métrica, Tomo I. p. 712. ISBN 84-85731-06-9.