Teorema del factor

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. $x^{2}+6x+6$). Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio $f(x)$ tiene un factor $(x-k)$ si y sólo si $k$ es una raíz de $f(x)$, es decir que $f(k)=0$.

Ejemplo

Si se desea encontrar los factores de $x^{3}+7x^{2}+8x+2$, para ello se podría tantear un primer factor, $(x-a)$. Si el resultado de sustituir $a$ en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es $(x-1)$ un factor? Para saberlo, se sustituye $x=1$ en el polinomio:

$x^{3}+7x^{2}+8x+2=1^{3}+7\cdot 1^{2}+8\cdot 1+2=1+7+8+2=18$

Cómo esta operación da 18 (y no 0), $(x-1)$ no es un factor de $x^{3}+7x^{2}+8x+2$. Así que ahora se prueba con $(x+1)$ (sustituyendo $x=-1$ en el polinomio):

$(-1)^{3}+7\cdot (-1)^{2}+8\cdot (-1)+2$.

Que da como resultado 0. Por tanto, $x-(-1)$, que es equivalente a $x+1$, es un factor, y -1 es una raíz de $x^{3}+7x^{2}+8x+2$.

Las otras dos raíces se pueden encontrar dividiendo $x^{3}+7x^{2}+8x+2$ entre $(x+1)$ para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de nuevo por el teorema del factor, o directamente con la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.

${\frac {x^{3}+7x^{2}+8x+2}{x+1}}=x^{2}+6x+2$