Teorema del factor

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En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. x^2+6x+6). Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio P(x) tiene un factor (x-k) si y sólo si k es una raíz de P(x), es decir que P(k)=0.

Ejemplo[editar]

Si se desea encontrar los factores de x^3 + 7x^2 + 8x + 2, para ello se podría tantear un primer factor, (x-a). Si el resultado de sustituir a en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es (x-1) un factor? Para saberlo, se sustituye x=1 en el polinomio:

x^3 + 7x^2 + 8x + 2 = 1^3 + 7 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 + hl
= 1 + 7 + 8 + 15
= 18

Cómo esta operación da 18 (y no 0), (x-1) no es un factor de x^3+7x^2+8x+2. Así que ahora se prueba con (x+1) (sustituyendo x=-1 en el polinomio):

(-1)^3 + 7 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) + 2.

Que da como resultado 0. Por tanto, x - (-1), que es equivalente a x+1, es un factor, y -1 es una raíz de x^3 + 7x^2 + 8x + 2.

Las otras dos raíces se pueden encontrar dividiendo x^3+7x^2+8x+2 entre (x+1) para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de la siguiente manera \frac{x^3+7x^2+8x+2}{x+1}= x^2 + 6x + 2