Diferencia entre revisiones de «Derivación de funciones trigonométricas»
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La '''derivación de las funciones trigonométricas''' es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una [[función trigonométrica]] cambia respecto de la |
La '''derivación de las funciones trigonométricas''' es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una [[función trigonométrica]] cambia respecto de la variable independiente; es decir, la [[derivada]] de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones ''sin(x)'', ''cos(x)'' y ''tan(x)''. Por ejemplo, al derivar ''f(x)'' = ''sin(x)'', se está calculando la función ''f'(x)'' tal que da el ritmo de cambio del ''sin(x)'' en cada punto ''x''. |
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== Derivada de la función seno == |
== Derivada de la función seno == |
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:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}</math> |
:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}</math> |
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A partir de la identidad trigonométrica <math>\sin(A+B)=(\sin(A)\cos(B)+\cos( |
A partir de la identidad trigonométrica <math>\sin(A+B)=(\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)</math>, se puede escribir |
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:<math>f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}</math> |
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Agrupando los términos cos(''x'') y sin(''x''), la derivada pasa a ser |
Agrupando los términos cos(''x'') y sin(''x''), la derivada pasa a ser |
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A partir de la identidad trigonométrica |
A partir de la identidad trigonométrica |
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:<math>\tan(x) |
:<math>\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}</math> |
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haciendo: |
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:<math>g(x)=\sin(x) \,</math> |
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:<math>g'(x)=\cos(x) \,</math> |
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:<math>h(x)=\cos(x) \,</math> |
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:<math>h'(x)=-\sin(x) \,</math> |
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sustituyendo resulta |
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:<math>f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}</math> |
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operando |
operando |
Revisión del 20:38 31 may 2010
Función | Derivada |
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La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.
Derivada de la función seno
A partir de la definición de la derivada de una función f(x):
Por tanto si f(x) = sin(x)
A partir de la identidad trigonométrica , se puede escribir
Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser
Reordenando los términos y el límite se obtiene
Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
El valor de los límites
Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),
Derivada de la función coseno
Si f(x) = cos(x)
A partir de la identidad trigonométrica , se puede escribir
Operando se obtiene
Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
El valor de los límites
Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),
Derivada de la función tangente
A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, , se puede escribir como
y , entonces la regla dice que la derivada de es igual a:
A partir de la identidad trigonométrica
haciendo:
sustituyendo resulta
operando
y aplicando las identidades trigonométricas
resulta