Teorema de convolución

En matemática, el teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto (o interno) en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con $f*g$. (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo $\otimes$). Sea ${\mathcal {F}}$ el operador de la transformada de Fourier, con lo que ${\mathcal {F}}[f]$ y ${\mathcal {F}}[g]$ son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

Entonces

${\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])$

donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:

${\mathcal {F}}[f\cdot g]={\frac {{\mathcal {F}}[f]*{\mathcal {F}}[g]}{\sqrt {2\pi }}}$

Aplicando la transformada inversa de Fourier ${\mathcal {F}}^{-1}$, podemos escribir:

$f*g={\sqrt {2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}[{\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]]$

Demostración

La demostración funciona para normalizaciones unitarias y no unitarias de la transformada de Fourier, pero en la versión unitaria tiene factores extras de ${\sqrt {2\pi }}$ que son inconvenientes aquí. Sean $f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$

Sean $F$ la transformada de Fourier de $f$ y $G$ la transformada de Fourier de $g$:

$F(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx$

$G(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx$.

Sea $h$ la convolución de $f$ y $g$

$h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.$

Nótese que

$\int \int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(z-x)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.$

Del teorema de Fubini tenemos que $h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, así que su transformada de Fourier está definida. Sea $H$ la transformada de Fourier de $h$:

$H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz.$

Obsérvese que $|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }|=|f(x)g(z-x)|$ y gracias al argumento de arriba podemos aplicar nuevamente el teorema de Fubini:

$H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz\right)\,dx.$

Sustituyendo $y=z-x$; tenemos $dy=dz$, y por lo tanto:

$H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }\,dy\right)\,dx$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy\right)\,dx$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy.$

Estas dos integrales son las definiciones de $F(\omega )$ y $G(\omega )$, así que:

$H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).$

Que es lo que queríamos demostrar.