Árbol de probabilidad

Descripción

Diagramas de árbol, es una herramienta gráfica para facilitar el calculo de probabilidades.

Para la elaboración de un diagrama de árbol se parte de un nodo o punto de comienzo del que sale una rama para cada caso que pueda suceder, cada rama tiene anotada su probabilidad.

Una rama puede ser un nuevo nodo del que partan nuevas ramas o ser un nodo final, lo que representa el final de un experimento.

La suma de las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nodo debe ser igual a 1.

Para el calculo de la probabilidad de un experimento, se determina el camino que se debe seguir en el árbol para desarrollarlo y se multiplica el valor de todas las probabilidades de las ramas por las que se recorre el camino.

La probabilidad de un suceso es la suma de todos los caminos que cumplen con el mismo.

Ejemplo

Una universidad tiene de tres facultades:

• La 1ª con el 50% de estudiantes.
• La 2ª con el 25% de estudiantes.
• La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

$P(alumna\ de\ la\ 1^{a}\ facultad)=0,5\cdot 0,6=0,3$

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

$P(alumno\ var{\acute {o}}n)=0,5\cdot 0,4+0,25\cdot 0,4+0,25\cdot 0,4=0,4$

Relación con probabilidad condicionada

Esta herramienta esta fundamentada en el cálculo de probabilidades condicionadas.

• Por ejemplo podemos identificar el 0,6 que encotramos en la rama que va de 1ª facultad a mujer como la siguiente probabilidad condicionada:

$P(mujer\mid 1^{a}\ facultad)=0.6$

También esta herramienta se relaciona con algunos teoremas de la probabilidad condicionada

• El segundo cálculo que hemos realizado, se corresponde con la aplicación del teorema de la Probabilidad Total

Dado que las tres facultades forman una partición del espacio muestral podemos indicar este cálculo como:

$\scriptstyle P(alumno\ var{\acute {o}}n)=P(var{\acute {o}}n\mid 1^{a}\ facultad)\cdot P(1^{a}\ facultad)+P(var{\acute {o}}n\mid 2^{a}\ facultad)\cdot P(2^{a}\ facultad)+P(var{\acute {o}}n\mid 3^{a}\ facultad)\cdot P(3^{a}\ facultad)$

$P(alumno\ var{\acute {o}}n)=0.5\cdot 0.4+0.25\cdot 0.4+0.25\cdot 0.4=0.4$