Teorema de la probabilidad total

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El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

Sea A_1, A_2,..., A_n una partición sobre el espacio muestral y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B|A_i), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:

P(B) = \sum_{i = 1}^{n} P(B|A_i)P(A_i)

Demostración[editar]

Por hipótesis tenemos una partición  A_1, A_2, \ldots , A_n del espacio muestral \Omega. Por lo tanto el suceso B se puede escribir como

B = (B\cap A_1)\cup (B\cap A_2) \cup \cdots\cup (B\cap A_n).

ahora bien, los conjuntos B\cap A_i son dos a dos disjuntos, ya que en caso contrario los A_i tampoco lo serían. En consecuencia

P(B) = P(B\cap A_1) + P(B\cap A_2) + \cdots + P(B\cap A_n).

Por último, se sabe que P(C \cap D) = P(C | D)P(D) para cualesquiera sucesos C y D. Luego

P(B) = P(B | A_1)P(A_1) + P(B | A_2)P(A_2) + \ldots + P(B | A_n)P(A_n) = \sum_{i = 1}^{n} P(B|A_i)P(A_i),

que era lo que se quería demostrar.

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