Recubrimiento (matemática)

En matemática, una colección de subconjuntos A de un conjunto X es un recubrimiento de X, o una cubierta de X, si la unión de los elementos de la colección A es igual a X. Además, si los subconjuntos de X de dicha colección A satisfacen el ser disjuntos por pares, A es llamada partición de X.

Si el conjunto X tiene estructura de espacio topológico, el recubrimiento A es llamado recubrimiento abierto, o indistintamente cubierta abierta, si cada elemento de A es un conjunto abierto en X.

Conceptos relacionados

Un conjunto X se dice compacto si cada recubrimiento abierto de X contiene una subcolección finita la cual también es recubrimiento de X.

Un recubrimiento de X se dice localmente finito si todo punto de X tiene un entorno que interseca sólo un número finito de conjuntos del recubrimiento. Expresado con símbolos, C = {U_α} es localmente finito si para todo x ∈ X, existe N(x), entorno de x tal que

$\left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}$

es finito.

Subrecubrimiento y refinamiento

Si C es un recubrimiento de un espacio topológico X, un subrecubrimiento de C es un subconjunto C (formado por tanto por elementos de C ) que todavía recubre X.

Un refinamiento de un recubrimiento C de X es un nuevo recubrimiento D de X tal que todo conjunto de D esté contenido en algún conjunto de C. En símbolos, $D=V_{\beta \in B}$ es un refinamiento de $U_{\alpha \in A}$ cuando $\forall \beta \ \exists \alpha \ V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$.

Obsérvese cómo un subrecubrimiento está formado una selección de elementos del recubrimiento, mientras que un refinamiento está formado por conjuntos que son subconjuntos de los conjuntos del recubrimiento. Todo subrecubrimiento es también un refinamiento, pero no viceversa.

Referencias

• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.