Cuantificador

En lógica y teoría de conjuntos, un cuantificador es una expresión que se utiliza para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, pero quizás los más estudiados y utilizados sean:

• Cuantificador universal

$\forall \,x,y\ldots$

Para todo x, y...

• Cuantificador existencial

$\exists \,x,y\ldots$

Existe al menos un x, y...

• Cuantificador existencial único

$\exists !\,x,y\ldots$

Existe exactamente un x, y...

• Negación del cuantificador existencial

$\nexists \,x,y\ldots$

No existe ningún x, y...

Declaraciones cuantificadas

Las declaraciones cuantificadas se escriben en la forma:

• $\forall \,x\in \mathbb {R} \;,\quad 2x\in \mathbb {R}$

Para todo x que pertenece a R, se cumple que 2x pertenece a R.

• $\forall \,a\in \mathbb {R} ,\quad \exists \,x\in \mathbb {R} \;:\quad a<x<(a+1)$

Para todo a que pertenece a R, existe x que pertenece a R, que esta comprendido entre a y a+1.

• $\forall \,a\in \mathbb {R} -\left\{{0}\right\},\quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \;:\quad a\cdot x=1$

Para todo a que pertenece a R diferente de cero, existe un único x que pertenece a R, que cumple que a por x es igual a 1.

Proposiciones

Cuantificación universal

El cuantificador universal se utiliza para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

$\forall x\in A\quad P(x)$.

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

$\{x\in A\mid P(x)\}=A$

Cuantificación existencial

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto $~A$ (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:

$\exists \,x,y\in A\quad p(x),p(y)$.

Esta proposición suele interpretarse como la equivalente de la proposición siguiente:

$\{x,y\in A\mid \quad p(x),p(y)\}\neq \emptyset$

Cuantificación existencial única

El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto $~A$ que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

$\exists !\,x,y\in A\quad p(x),q(y)$.

Se lee "Existe una única pareja de elementos de $~A$ cumpliendo una p y otra q"

Equivalencias

Se definen:

$\neg \forall x\in A\quad P(x)\qquad \Leftrightarrow \qquad \exists x\in A\quad \neg P(x)$

$\neg \exists x\in A\quad P(x)\qquad \Leftrightarrow \qquad \forall x\in A\quad \neg P(x)$

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Lógica de primer orden