Ángulo sólido

Para calcular el ángulo sólido de un superficie, se proyecta el objeto sobre una esfera de radio conocido.

El ángulo sólido es el ángulo espacial que abarca un objeto visto desde un punto dado, que se corresponde con la zona del espacio limitada por una superficie cónica. Mide el tamaño aparente de ese objeto.

La unidad del ángulo sólido en el SI es el estereorradián, cuyo símbolo es sr. Es el área del casquete esférico, en una esfera de radio unidad, abarcado por un cono cuyo vértice está en el centro de la esfera. Es una magnitud adimensional que se representa con la letra griega Ω.

Para calcular el ángulo sólido bajo el cual se ve un objeto desde un punto, se proyecta el objeto sobre una esfera de radio $\scriptstyle {R}$ conocido, centrada en el punto de vista. Si la superficie de la proyección del objeto sobre la esfera es $\scriptstyle {S}$, el ángulo sólido bajo el cual se ve el objeto es, por definición:

$\Omega ={S \over R^{2}}\,$

Expresiones diferencial e integral

Ángulo sólido

Consideremos una superficie dS, como se muestra en la Figura, y unamos todos los puntos de su contorno con un punto O. De este modo obtendremos una superficie cónica, de vértice en O, que delimitará un área $\scriptstyle \Omega \,$ sobre la superficie de una esfera de radio unidad y centrada en O. Dicha área constituye una medida de ángulo sólido bajo el cual se ve la superficie dS desde el punto O.

Se define el ángulo sólido bajo el cual se ve una superficie desde el punto O como el área de la proyección cónica de dicha superficie sobre una esfera de radio unidad centrada en O.

La unidad de ángulo sólido es el estereorradián (sr), definido como el ángulo sólido que teniendo su vértice en el centro de una esfera, delimita un área en la superficie de la misma igual a la de un cuadrado cuyos lados sean iguales a la longitud del radio.

Por convenio, se dice que el ángulo sólido es positivo si desde el punto O se divisa la cara negativa (cóncava) de la superficie. El ángulo sólido será negativo si desde O se divisa la cara positiva (convexa) de la superficie. De acuerdo con las definiciones anteriores, es fácil comprender que el ángulo sólido bajo el cual se ve una superficie cerrada desde un punto O situado en el interior de la misma vale $\scriptstyle +4\pi \,$ sr. Esto es así porque toda la superficie de la esfera de radio unidad, cuya área es $\scriptstyle +4\pi \,$, quedará recubierta al proyectar sobre ella la superficie cerrada que la envuelve.

En cambio, el ángulo sólido bajo el cual se ve una superficie cerrada desde un punto O exterior a la misma es nulo. Esto es así porque desde O vemos la cara positiva (convexa) de la superficie cerrada bajo un ángulo sólido que designaremos por $\scriptstyle -\Omega \,$. Inmediatamente detrás vemos la cara negativa (cóncava) de la superficie, bajo el mismo ángulo sólido, en valor absoluto, que designaremos por $\scriptstyle +\Omega \,$. Obviamente, resulta que $\scriptstyle \Omega _{t}=-\Omega +\Omega \,=0$.

Busquemos ahora la expresión del elemento de ángulo sólido $\scriptstyle \Omega \,$ bajo el cual se ve un elemento de superficie dS desde un punto O, como se ilustra en la figura. El producto escalar $\scriptstyle \mathbf {e} _{r}\cdot d\mathbf {S} =dS\cos \theta$ representa la proyección del vector dS en la dirección radial e_r procedente de O y que pasa por el "centro" del elemento de superficie. Dicho de otro modo, $\scriptstyle \mathbf {e} _{r}\cdot d\mathbf {S}$ es la proyección del elemento de área dS sobre un plano perpendicular a la dirección de e_r. Ahora, una simple relación de semejanza nos permite escribir:

$d\Omega ={\mathbf {e} _{r}\cdot d\mathbf {S} \over r^{2}}\,$

que constituye la expresión matemática del ángulo sólido elemental. Entonces, el ángulo sólido bajo el cual se ve una superficie finita S desde un punto P será

$\Omega =\int _{S}{\mathbf {e} _{r}\cdot d\mathbf {S} \over r^{2}}\,$

Ejemplos

Casquete esférico con ángulo aparente $\scriptstyle {2\theta }$.

El ángulo sólido bajo el cual se ve un objeto depende tanto de las dimensiones del objeto como de la distancia a la que se encuentra del observador. Así, el ángulo sólido bajo el cual se ve una moneda de un céntimo de un euro a 1,80 m, la Luna o el Sol, es muy parecido ($\scriptstyle {\simeq 6\,10^{-5}}$ sr) a pesar de la enorme diferencia de dimensiones.

Una hoja de papel normalizado A4 (210 mm x 297 mm), vista desde un punto centrado situado a 216 mm de la hoja se ve bajo un ángulo sólido de 1 sr, aproximadamente.

El ángulo sólido bajo el cual se ve un casquete esférico cuyo diámetro abarca $\scriptstyle {2\theta }$, visto desde el centro de la esfera, es

$\Omega =2\pi (1-\cos \theta )\,$

Desde un diedro rectángulo se ve bajo un ángulo sólido de $\scriptstyle {\pi }$ sr (una esquina interior de una habitación).

Desde un triedro rectángulo se ve bajo un ángulo sólido de $\scriptstyle {\pi \over 2}$ sr (una habitación vista del vértice del triedro formado por una esquina y el techo).

La bóveda celeste abarca medio universo, es decir, un ángulo sólido $\scriptstyle {2\pi }$ sr.

Desde cualquier punto en el espacio, el universo ocupa un ángulo sólido de $\scriptstyle {4\pi }$ sr.

Referencias

Véase también

• Estereorradián
• Radián
• Casquete esférico
• Teorema de Gauss

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (en inglés) (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3.