Recta tangente

Diferentes rectas secantes y una tangente a una curva.

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva.

Definción

Sea $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ una curva, y $\scriptstyle A$ un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en $\scriptstyle A$ la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ en $\scriptstyle A$ es la recta $\scriptstyle T_{A}$ que pasa por $\scriptstyle A$ y que tiene la misma dirección que $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ alrededor de $\scriptstyle A$.

La tangente es la posición límite de la recta secante ($\scriptstyle {\overline {AM}}$) (el segemento $\scriptstyle {\overline {AM}}$ se llama cuerda de la curva), cuando $\scriptstyle M$ es un punto de $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ que se aproxima indefinidamente al punto $\scriptstyle A$ ($\scriptstyle M$ se desplaza sucesivamente por $\scriptstyle M_{1},M_{2},M_{3},\dots$

Si $\scriptstyle {\mathcal {C}}$ representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta $\scriptstyle {\overline {AM}}$ tendrá como coeficiente director (o pendiente):

${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

Donde $\scriptstyle (a,f(a))$ son las coordenadas del punto $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle (x,f(x))$ las del punto $\scriptstyle M$. Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_A será:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es $\scriptstyle T_{A}$:

$y=f'(a)\cdot (x-a)+f(a)$

La recta ortogonal a la tangente $\scriptstyle {\overline {AM}}$ que pasa por el punto $\scriptstyle (a,f(a))$ se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por ${\frac {-1}{f'(a)}}$. Siendo su ecuación:

$y=-{\frac {x-a}{f'(a)}}+f(a)$

suponiendo claro está que $\scriptstyle f'(a)\neq 0$. Si $\scriptstyle f'(a)=0$ entonces la recta normal es simplemente $\scriptstyle x=a$. Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las cónicas, como por ejemplo para determinar el punto focal de una parábola.