Límite de una función

El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del Calculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta.​ Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistemática.​ La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860​ y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.

La notación de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.​

Definición formal

Funciones en espacios métricos

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

${\begin{array}{l}{\underset {x\to p}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \\\forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0:\\\forall x(0<|x-p|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon )\end{array}}$

El límite de la función f(x) cuando x se aproxima a p será L si y solo sí para todo $\epsilon$ > 0 existe un $\delta$ > 0 tal que para todo número real x en 0 < |x - p| < $\delta$, tenemos que |f(x) - L| < $\epsilon$

El siguiente concepto de límite es el de la definición formal, la cual no es muy aprensible para el común de la gente. Dicha formulación matemática es más conocida como epsilon - delta. Por ello es importante entender el concepto de límite como aquella herramienta matemática que sirve para conocer el comportamiento de una función alrededor de un punto, y que no dice nada de tal comportamiento precisamente en dicho punto.

Supóngase f : (M, d_M) -> (N, d_N) es mapeado entre dos espacios métricos, p es un punto límite de M y L∈N. Decimos que "el límite de f en p es L" y escribimos

$\lim _{x\to p}f(x)=L$

si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < d_M(x, p) < δ, tenemos d_N(f(x), L) < ε.

En términos de desigualdades, tenemos que el límite de la función f ( x ) en x = a es L si se cumple lo siguiente: para toda ε > 0 existe un δ (ε) > 0 tal que, para toda x:

si $0<\left|x-a\right|<\delta$ , entonces $\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon$

Observemos que la solución de la desigualdad 0 < | x - a | < δ es la siguiente:

x pertenece a la vecindad ( a - δ , a ) U ( a, a + δ ): x no toca el valor de a, pues

0 < | x - a | implica x distinto de a,

mientras que la solución de | f (x) - L | < ε es la siguiente:

y pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Esto proporciona la clave de la comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de la x está en la vecindad horizontal alrededor del punto "a" y agujereada en "a" con radio delta y centro "a", aun cuando en ese punto "a" no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(a) y radio épsilon.

Notación de límite

Límite de una función en un punto

Sea f una función real, entonces

$\lim _{x\to p}f(x)=L$ ($x,L\in {\mathbb {R} }$)

si y sólo si

para todo $\varepsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que para todo número real x en el dominio de la función

$0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Notación formal: $\forall \varepsilon >0,\exists {\delta >0}/\forall _{x\in \mathbb {D} }\ 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$

Indeterminaciones

Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellos:

${\begin{array}{ll}\infty -\infty \\\\{\cfrac {\infty }{\infty }}&{\cfrac {0}{0}}\\\\\infty \cdot 0&1^{\infty }\\\\\infty ^{0}&0^{0}\end{array}}$

* Nota: $\infty \,\!$ se refiere al límite que tiende infinito y $0\,\!$ al límite cuando tiende 0 (no al número 0).

Ejemplo: 0/0 es una indeterminación pues límites de cocientes donde los límites de dividendo y divisor separadamente son cero, pueden terminar dando cualquier cosa, como los siguientes:

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}=\infty$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}=1$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}=0$

Propiedades de los límites

Si k es un escalar:

1. $\lim _{x\to p}k=\,k\,$
2. $\lim _{x\to p}x=\,p\,$
3. $\lim _{x\to p}kf(x)=\,k\lim _{x\to p}f(x)\,$
4. $\lim _{x\to p}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)+\lim _{x\to p}g(x)\,$
5. $\lim _{x\to p}(f(x)-g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)-\lim _{x\to p}g(x)\,$
6. $\lim _{x\to p}(f(x)g(x))=\,\lim _{x\to p}f(x)\cdot \lim _{x\to p}g(x)\,$
7. $\lim _{x\to p}{{f(x)} \over {g(x)}}=\,{{\lim _{x\to p}{f(x)}} \over {\lim _{x\to p}{g(x)}}}\,\ si\ g(x)\neq 0\ y\lim _{x\to p}g(x)\neq 0,$
8. ${\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{1 \over x}}=\,e$
9. ${\lim _{x\to \infty }\left(1+{1 \over x}\right)^{x}}=\,e$
10. ${\lim _{x\to \infty }x\;\sin \left({\frac {2\pi }{x}}\right)\cos \left({\frac {2\pi }{x}}\right)}=\,2\pi$
11. ${\lim _{x\to 0}{{\operatorname {sen} x} \over x}}=\,1\,={\lim _{x\to 0}{x \over \operatorname {sen} x}}$
12. ${\lim _{x\to 0}{\tan x \over x}}=\,1\,={\lim _{x\to 0}{x \over \tan x}}$
13. ${\lim _{x\to 0}{\operatorname {sen} x \over \tan x}}=\,1\,={\lim _{x\to 0}{\tan x \over \operatorname {sen} x}}$
14. ${\lim _{x\to p}\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\,0\Leftrightarrow$ f(x) acotada y g(x) infinitésimo
15. ${\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}}=\,0\,$

Véase también

• Límite matemático
• Topología de red, una generalización del concepto de límite.