Funciones de parte entera

En matemática, las funciones de parte entera son aquellas funciones:

$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {Z}$

que toman un número real y devuelven un número entero mayor o menor a ese número. Las funciones más conocidas son la función piso y la función techo.

Función techo

Función techo.

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero k no inferior a x:

$\lceil x\rceil =\min\{k\in \mathbb {Z} \mid x\leq k\}$

O de otra forma:

$y=\lceil x\rceil :\quad y={\big \{}y:\quad y\in \mathbb {Z} \quad \land \quad x\in \mathbb {R} \quad \land \quad y-1<x\leq y{\big \}}$

Propiedades

• Para cualquier número real se cumple que $\lceil x\rceil \geq x$.
• El número real x al que se aplica la función techo es un número entero si y sólo si la función techo de x tiene el mismo valor que x.

$x\in \mathbb {Z} \Leftrightarrow \lceil x\rceil =x$

• La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos.
• La función techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la función característica del conjunto de los enteros:

$\int _{\epsilon }^{x+\epsilon }\delta (1-\chi _{\mathbb {Z} }(y))dy=\lceil x\rceil ,\qquad 0<\epsilon <1$

Ejemplos

Para un número real no entero:

$\lceil 2.3\rceil =\min\{k\in \mathbb {Z} \mid 2,3\leq k\}=3$

$\lceil -2.3\rceil =\min\{k\in \mathbb {Z} \mid -2,3\leq k\}=-2$

Para un número entero:

$\lceil 2\rceil =\min\{k\in \mathbb {Z} \mid 2\leq k\}=2$

$\lceil -2\rceil =\min\{k\in \mathbb {Z} \mid -2\leq k\}=-2$

Función piso

Función piso.

La función piso se aplica a un número real x y devuelve el máximo número entero k no superior a x:

$\lfloor x\rfloor =\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}$

Que se puede expresar:

$y=\lfloor x\rfloor :\quad y={\big \{}y:\quad y\in \mathbb {Z} \quad \land \quad x\in \mathbb {R} \quad \land \quad y\leq x<y+1{\big \}}$

Propiedades

El número real x al que se aplica la función piso es un número entero si y sólo si la función techo de x tiene el mismo valor que x.

$x\in \mathbb {Z} \Leftrightarrow \lfloor x\rfloor =x$

Ejemplos

Para un número real no entero:

$\lfloor 2.3\rfloor =\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq 2,3\}=2$

$\lfloor -2.3\rfloor =\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq -2,3\}=-3$

Para un número entero:

$\lfloor 2\rfloor =\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq 2\}=2$

$\lfloor -2\rfloor =\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq -2\}=-2$

Serie de expansión para la función piso, techo y parte entera (en el lenguaje C)

Como la función piso no es continuo por lo tanto no tiene un expansión potencial (Series de Taylor) y como tampoco es periódico, no tiene una expansión en la Serie de Fourier. Sin embargo la función $\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor$ llamada funcion de parte decimal, fraccionaria o Función mantisa; es periódico; por lo tanto tiene una expansión en la serie de Fourier que es:

$\{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.$

Usando la expresión $\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor$ podemos saber la expansión de la función $\lfloor x\rfloor$ :

$\lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$

teniendo en cuenta que: $\lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor$. Entonces la expansión de serie de la función techo sería:

$\lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$

y por último, para la función de parte entera en el lenguaje C, se utilizara la siguiente expresión ${\mbox{int}}(x)=\lfloor |x|\rfloor \operatorname {sgn} (x)$ entonces quedaría:

${\mbox{int}}(x)=x-{\frac {\sin(x)}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}$

Función parte entera en C

Función parte entera en el lenguaje de programación C.

La función parte entera en el lenguaje de programación C es una función compuesta de la función piso y techo, se define de la siguiente manera:

$\operatorname {int} (x)=[x]={\begin{cases}\mathrm {si\ \ } x\geq 1\quad &[x]=\lfloor x\rfloor \\\mathrm {si\ \ } -1<x<1\quad &[x]=0\\\mathrm {si\ \ } x\leq -1\quad &[x]=\lceil x\rceil \end{cases}}$

Se utiliza mediante el operador (int) para truncar el valor de variables del tipo float o double.

Véase también

• Continuidad (matemática)

Referencias

• Štefan Porubský, "Integer rounding functions", Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics, Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences, Prague, Czech Republic.