Teorema de Bayes

El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

Sea $\{A_{1},A_{2},...,A_{i},...,A_{n}\}$ un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales $P(B|A_{i})$. Entonces, la probabilidad $P(A_{i}|B)$ viene dada por la expresión:

$P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{P(B)}}={\frac {P(B|A_{i})P(A_{i})}{\sum _{j=1}^{n}P(B|A_{j})P(A_{j})}}$

donde:

$P(A_{i})$ son las probabilidades a priori.

$P(B|A_{i})$ es la probabilidad de $B$ en la hipótesis $A_{i}$.

$P(A_{i}|B)$ son las probabilidades a posteriori.

Esto se cumple $\forall i=1\ldots n$

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

Como observación, se tiene $\sum _{i=1}^{n}P(A_{i}|B)=1$ y su demostración resulta trivial.

Temas relacionados

• La paradoja de Raven
• La falacia del fiscal

Enlaces externos

• Calculadora en internet
• Inferencia estadística según el modelo bayesiano, en la web de la Sociedad Andaluza de Enfermedades Infecciosas
• Enciclopedia Stanford de filosofía