Congruencia (teoría de números)

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a$ y $b$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m$, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

$a\equiv b{\pmod {m}}$

que se expresa diciendo que $a$ es congruente con $b$ módulo $m$. Las siguientes expresiones son equivalentes:

• $a$ Es congruente con $b$ módulo $m$

$a\equiv b{\pmod {m}}$

• El resto de $a$ entre $m$ es el resto de $b$ entre $m$

$a\;{\bmod {\;}}m=b\;{\bmod {\;}}m$

• $m$ divide exactamente a la diferencia de $a$ y $b$

$m\mid a-b$

• $a$ se puede escribir como la suma de $b$ y un múltiplo de $m$

$\exists k\in \mathbb {Z} \quad a=b+km$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo $p$ y cada entero $a$ no divisible por $p$ tenemos la congruencia:

$a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.$

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuales son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^{2}-5\equiv 0{\pmod {11}}$, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x\equiv 4$ y $x\equiv 7{\pmod {11}}$, es decir $x$ puede ser cualquier entero de las sucesiones $11k+4$ y $11k+7$. Contrariamente la congruencia $x^{2}-2\equiv 0{\pmod {11}}$, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar algunas:

• La congruencia para un módulo fijo $m$ es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:

1. reflexividad: $a\equiv a{\pmod {m}}$
2. simetría: si $a\equiv b{\pmod {m}}$ entonces también $b\equiv a{\pmod {m}}$
3. transitividad: si $a\equiv b{\pmod {m}}$ y $b\equiv c{\pmod {m}}$ entonces también $a\equiv c{\pmod {m}}$.

• Si $a$ es coprimo con $m$ y $a\equiv b{\pmod {m}}$, entonces $b$ también es coprimo con $m$.

• si $a\equiv b{\pmod {m}}$ y $k$ es un entero entonces también se cumple

$a+k\equiv b+k{\pmod {m}}$ y:$ka\equiv kb{\pmod {m}}$

• si además $k$ es coprimo con $m$, entonces podemos encontrar un entero $k^{-1}$, tal que

$kk^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}$

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

${\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}$

donde por definición ponemos $a/k=ak^{-1}$.

• Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

$a\equiv b{\pmod {m}}$ y $c\equiv d{\pmod {m}}$

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

$a+c\equiv b+d{\pmod {m}}$ y $ac\equiv bd{\pmod {m}}$

Entre Polígonos

Se define la congruencia entre dos polígonos como una correspondencia biunívoca entre sus vértices tal que sus ángulos correspondientes sean congruentes (tengan la misma medida) y los lados correspondientes sean también congruentes (tengan la misma longitud).

Véase también

• aritmética modular
• resolución de congruencias
• clase de congruencia