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Línea 85: |
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== Derivada de la función tangente == |
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== Derivada de la función tangente == |
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A partir de la [[regla del cociente]], según la cual si la función que se quiere derivar, <math>f(x)</math>, se puede escribir como |
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:<math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}</math> |
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y <math>h(x)</math> ≠ <math>0</math>, entonces la regla dice que la derivada de <math>g(x)/h(x)</math> es igual a: |
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:<math>\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}</math> |
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A partir de la identidad trigonométrica |
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:<math>\tan(x) = {sin(x)\over\cos(x)}</math> |
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haciendo |
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:<math>g(x)=\sin(x)</math> <math>g'(x)=\cos(x)</math> |
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:<math>h(x)=\cos(x)</math> <math>h'(x)=-\sin(x)</math> |
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sustituyendo resulta |
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:<math>f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)[-\sin(x)]}{\cos^2(x)}</math> |
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operando |
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: <math>f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}</math> |
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y aplicando las identidades trigonométricas |
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: <math>\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1</math> <math>\sec(x)=\frac{1}{cos^2(x)}</math> |
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resulta |
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: <math>f'(x)=\sec^2(x)</math> |
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[[Categoría:Funciones trigonométricas|Derivacion de funciones trigonometricas]] |
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[[ca:Derivació de les funcions trigonomètriques]] |
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[[en:Differentiation of trigonometric functions]] |
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[[km:ដេរីវេ នៃ អនុគមន៍ ត្រីកោណ មាត្រ]] |
Función
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Derivada
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La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.
Derivada de la función seno
A partir de la definición de la derivada de una función f(x):
Por tanto si f(x) = sin(x)
A partir de la identidad trigonométrica , se puede escribir
Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser
Reordenando los términos y el límite se obtiene
Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
El valor de los límites
Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),
Derivada de la función coseno
Si f(x) = cos(x)
A partir de la identidad trigonométrica , se puede escribir
Operando se obtiene
Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener
El valor de los límites
Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),
Derivada de la función tangente
A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, , se puede escribir como
y ≠ , entonces la regla dice que la derivada de es igual a:
A partir de la identidad trigonométrica
haciendo
-
-
sustituyendo resulta
operando
y aplicando las identidades trigonométricas
-
resulta