Relación antisimétrica

Una relación binaria $R$ sobre un conjunto $A$ es antisimétrica cuando se da que si dos elementos de $A$ se relacionan entre sí mediante $R$, entonces estos elementos son iguales.

Es decir,

$\forall a,b\in A,\ aRb\land bRa\;\Rightarrow \;a=b$

En tal caso, decimos que $R$ cumple con la propiedad de antisimetría.

La aplicación de cualquier relación $R$ sobre un conjunto $A$, se representa con el par ordenado $(A,R)$.

Representación

Sea $R$ una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto $A$, entonces $R$ tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

• Como pares ordenados, $\forall a,b\in A,\ (a,b)\in R\land (b,a)\in R\;\Rightarrow \;a=b$

• Como matriz de adyacencia $M$, la matriz $M+M^{t}\,$ no tiene ningún 2 salvo, a lo sumo, en la diagonal.

• Como grafo, éste no contendrá ciclos, pero sí podrá tener bucles en sus nodos.

Ejemplos

Sea $A$ un conjunto cualquiera:

• Sea $(A,\geq )$, $\geq$ ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que $>\,$ ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

• Sea $(A,\leq )$, $\leq$ ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que $<\,$ ("menor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.

• La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.

Antisimetría $\neq$ simetría

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad para los enteros), otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").