Par ordenado

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

Definición

La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos:

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son idénticos si y sólo si coinciden sus primer y segundo elemento respectivamente: $(a,b)=(c,d)\ \text{ si y solo si }\ a=c\ \text{ y }\ b=d\!$

Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones y funciones.

Generalizaciones

Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:

(a₁, a₂, a₃) = (b₁, b₂, b₃)  si y sólo si  a₁ = b₁ , a₂ = b₂ , y a₃ = b₃

En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos n, dando lugar así a una n-tupla.

Construcción

La propiedad característica de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad relevante para su uso en matemáticas. Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se utiliza una definición de par ordenado como un tipo particular de conjunto.

La definición conjuntista más habitual, debida a Kuratowski, es:

$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}\!$

Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado.

Referencias

• Moschovakis, Yiannis N. (2006) (en inglés). Notes on set theory. Birkhäuser. ISBN 9780387287225. 
• Tourlakis, George (2011) (en inglés). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780521168489.  Discute el par ordenado en III.10.